Tiêu đề 5. HÀM SỐ.Image.Marked.pdf ✅

CHƯƠNG 5. HÀM SỐ Câu 1. (Toán chuyên An Giang năm 2023-2024) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số   2 f x  ax và g  x  ax  b (a; b là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1. Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị. Lời giải Hình vẽ cho biết a  0 . Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:   2 2 ax  ax  b  ax  ax  b  0 * . Gọi nghiệm còn lại của (*) là 0 x . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 0 0 1    1  2 a x x a Vậy hoành độ của điểm chung thứ hai là x  2. Câu 2. (Toán chuyên Yên Bái năm 2023-2024) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol   2 P : y  x và đường thẳng d : y  2x  m  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d  cắt P tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ 1 2 x , x thỏa mãn 2 1 2 x 1  2x . Câu 3. (Toán chuyên Bắc Ninh năm 2023-2024) Vẽ đường thẳng d là đồ thị của hàm số y  2x  4 . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d . Lời giải Vẽ đường thẳng d là đồ thị của hàm số y = 2x – 4 10 8 6 4 2 2 4 6 8 15 10 5 5 10 15 H O A(2;0) B(0;4)
Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(2; 0), cắt trục Oy tại B(0; 4) Tính được OA = 2; OB = 4. Gọi H là hình chiếu của O trên AB. Ta có 2 2 2 1 1 1 1 1 5 4 5 OH OH OA OB 4 16 16 5        Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là 4 5 OH 5  . Câu 4. (Toán chuyên Bến Tre năm 2023-2024) Cho Parabol   1 2 2 y  x P , đường thẳng (d): 2 y   x  2 m với m 0 và điểm I(0;2) a)Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt. b)Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK là tam giác vuông. c)Chứng minh rằng độ dài của đoạn thẳng AB lớn hơn 4 Lời giải a)Phương trình hoành độ giao điểm của(P) và (d) là   1 2 2 2, 0 1 2 x   x  m  m 1 2 2 2 0 2  x  x   m 2 4  x  x  4  0 m Do ' x = 2 4  4  0,m  m 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm 1 2 x , x phân biệt. Mặt khác, số nghiệm của phương trình(1) chính là số giao điểm của (P) và (d). Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm A, B phân biệt. b)Ta đặt A( x1 ; y1 ),B x2 ; y2  hay A 2 1 1 1 ; 2       x x , B 2 2 2 1 ; 2       x x . Khi đó H( x1 ;o),K  x2 ;0. Áp dụng Viềt cho phương trình (1) với 2 nghiệm phân biệt 1 2 x , x ta có 1 2 1 2 4 4           x x m x x Ta tính được               2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 16 4 16 0 0 2 4 0 0 2 4 16 8 2 8 16                                    HK X X X X X X m IH X X IK X X IH IK X X X X X X m Suy ra 2 2 2 HK  IH  IK , hay tam giác IHK vuông tại I. c) Ta đi chứng minh 2 AB  16 với mọi m  0 . Thật vậy, 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 2           AB x x x x
2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 4  x  x  x  x x  x 2 2 2 1 1 2 1 ( ) 1 ( ) 4            x x x x 2 2 16 4 16 1           m  m  4 2 64 80   16  16,m  0 m m Bình luận – Mấu chốt của bài toán là áp dụng định lý Vi-ét và công thức tính độ dài của đoạn thẳng từ hai điểm có tọa độ cho trước. Ta chú ý tính toán và biến đổi thật kỉ lưỡng để đảm bảo độ chính xác Câu 5. (Toán chuyên Cần Thơ năm 2023-2024) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : y  2mx  4m  5 ( m là tham số) và parabol   2 P : y  x . Tìm tất cả giá trị của m để d  cắt P tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O . Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm của P và d : 2 x  2mx  4m  5 2  x  2mx  4m  5  0   2 Δ  4m 16m  20  0 m Phương trình có hai nghiệm phân biệt:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 16 20 4 5 4 5 2 2 4 16 20 4 5 4 5 2 A A B B m m m x m m m y m m m m m m x m m m y m m m                                 ΔAOB vuông tại O 2 2 2  OA  OB  AB (Định lý Pythagoras)     2 2 2 2 2 2 A A B B A B A B  x  y  x  y  x  x  y  y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A A B B A A B B A A B B  x  y  x  y  x  x x  x  y  y y  y 0 A B A B  x x  y y         2 2 2 2 2 2  m  m  4m  5 m  m  4m  5  m  m  4m  5 m  m  4m  5  0       2 2 2 2 4 5 4 5 0 4 5 4 5 1 m m m m m m m m m m m m                     Giải 1 :    2 2 m  m  4m  5 m  m  4m  5  0   2 2  m  m  4m  5  0  4m  5  0 5 4  m  (loại vì khi 5 4 m  thì sẽ nhận được 0 B x  và 0 B y  , điểm B trùng với điểm O không tạo được tam giác)
Giải 2 :    2 2 m  m  4m  5 m  m  4m  5  1   2 2  m  m  4m  5  1  4m  5  1  m 1 (nhận) vậy m 1 Câu 6. (Toán chuyên Cao Bằng năm 2023-2024) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol   2 P : y  x và đường thẳng d : y  x  6 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B . Tính tổng độ dài OA và OB (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của parabol P và đường thẳng d  là 2 2 3 6 6 0 2 x x x x x x               Tọa độ giao điểm A, B của P và d  là A3;9, B2;4 . Do đó, tổng độ dài của hai đoạn thẳng OA và OB là         2 2 2 2 T  OA  OB  0  3  0  9  0  2  0  4  90  20  13,96 Câu 7. (Toán chuyên Đà Nẵng năm 2023-2024) Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, cho parabol   2 P : y  x và đường thẳng d : y  kx  5. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox. a) Khi k = -4, tính diện tích hình thang ABDC b) Tìm tất cả các giá trị của k để AD và BC cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính CD. Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 x  4x  5 2  x  4x  5  0 a  b  c  1 4  5  0