Tiêu đề Bài 6_Vec tơ và các phép toán trong không gian_Đề bài_Toán 12_KNTT.doc ✅

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. - Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: - Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB→ . - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là ,,,,abxy→→→→ - Độ dài của vectơ AB→ được kí hiệu là ||AB→ , độ dài của vectơ a→ được kí hiệu là a→ - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điẻ̉m cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4). Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5). a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện? b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng ABC ? c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a. Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCDABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (2.12)H . Tính độ dài của vectơ BCDD→→ . Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau: - Tính chất giao hoán: Nếu a→ và b→ là hai vectơ bất kì thì abba→→→→ . - Tính chất kết hợp: Nếu ,ab→ → và c→ là ba vectơ bất ki thì ()()abcabc→→→→→→ . - Tính chất cộng với vectơ 0→ : Nếu a→ là một vectơ bất kì thì 00aaa→→→→→ . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ ,ab→ → và c→ là abc→→→ mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng ACBDADBC→→→→ . Kết quả sau đây được gọi là quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCDABCD . Khi đó, ta có ABADAAAC→→→→ . Ví dụ 5. Cho hình hộp (.2.14)ABCDABCDH . Chứng minh rằng BCDCAAAC→→→→ . b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a→ được gọi là vectơ đối của vectơ a→ , kí hiệu là a→ . Chú ý - Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0→ . - Vectơ BA→ là một vectơ đối của vectơ AB→ . - Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó. Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vecto trong không gian: Vectơ ()ab→→ được gọi là hiệu của hai vectơ a→ và b→ và kí hiệu là ab→→ .