Tiêu đề Bài 2_Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số_Đề bài.Image.Marked.pdf ✅

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập hợp D . Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f (x) trên D nếu f (x)  M với mọi x thuộc D và tồn tại 0 x thuộc D sao cho f  x0   M . Kí hiệu max ( ) D M  f x . Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên D nếu f (x)  m với mọi x thuộc D và tồn tại 0 x thuộc D sao cho f  x0   m . Kí hiệu min ( ) D m  f x . Chú ý: Ta quy ước khi chi nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) (mà không cho rõ tập hợp D ) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên tập xác định của nó. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y  f (x)  2x  3 trên đoạn [3;1]; b) 2 y  g(x)  1 x . Lời giải a) Xét hàm số f (x)  2x  3 trên đoạn [3;1]. Với mọi x[3;1], ta có f (x)  2x  3  3. Mặt khác f (3)  3 . Do đó [ 3;1] min f (x) 3    . Với mọi x[3;1], ta có f (x)  2x  3  5. Mặt khác f (1)  5 . Do đó [ 3;1] max f (x) 5   . b) Xét hàm số 2 g(x)  1 x . Tập xác định: D  [1;1]. Ta có 0  g(x) 1 với mọi x[1;1]. Mặt khác g(0) 1 và g(1)  0 . Do đó [ 1;1] min g(x) 0   và [ 1;1] max g(x) 1   . Nhận xét: Nếu biết đồ thị của hàm số trên tập hợp D , ta có thể xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D . Chẳng hạn: - Dựa vào đồ thị hàm số y  f (x)  2x  3 trên đoạn [3;1] (Hình 2a), ta thấy với mọi x[3;1], f (x)  f (3) và f (x)  f (1) nên [ 3;1] min f (x) f ( 3) 3      và [ 3;1] max f (x) f (1) 5    . - Dựa vào đồ thị của hàm số 2 y  g(x)  1 x trên đoạn [1;1] (Hình 2b ), ta thấy với mọi x[1;1], g(x)  g(1) và g(x)  g(0) nên [ 1;1] min g(x) g(1) 0    và [ 1;1] max g(x) g(0) 1    .
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên. Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 f (x)  x  6x  9x 1 trên nửa khoảng [1;) . Lời giải Ta có: 2 f (x)  3x 12x  9 ; f (x)  0  x 1 hoặc x  3. Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng [1;) : Từ bảng biến thiên, ta thấy [ 1; ) min f (x) f ( 1) 17       và hàm số không có giá trị lớn nhất trên [1;) . 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Một cách tổng quát, cho hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên (a;b) (có thể trừ một số hữu hạn các điểm) và f (x)  0 chi tại một số hữu hạn các điểm trong (a;b), ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [a ; b] theo các bước nhu sau: Bước 1. Tìm các điểm 1 2 ; ; ; n x x  x thuộc khoảng (a;b) mà tại đó f (x) bằng 0 hoặc không tồn tại. Buớc 2. Tính ( );  1 ;  2 ; ;  ; ( ) n f a f x f x  f x f b . Buớc 3. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: [ ; ] [ ; ] max ( ), min ( ). a b a b M  f x m  f x Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 f (x)  x 8x  9 trên đoạn [1;3]. Lời giải

a) 3 y  x 12x 1 trên đoạn [1;3]; b) 3 2 y  x  24x 180x  400 trên đoạn 3 ; 11; c) 2 1 2 x y x    trên đoạn 3 ; 7; d) y  sin 2x trên đoạn 7 0; 12        . 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 3 y  x  3x  4 trên nửa khoảng [3;2) ; b) 2 2 3 4 1 x x y x    trên khoảng (1;). 4. Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6 ). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)? 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 y  2 1 x  x . 6. Khối lượng q(kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng /kg ) theo công thức 1 15 2 p   q . Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R  pq . a) Viết công thức biểu diễn R theo p . b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó. 7. Hộp sữa 1l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm . Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất. C. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG TOÁN 1. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT ĐỒ THỊ HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN 1. BÀI TẬP MẪU Câu 1: Cho hàm số y  f (x) liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn [1;3] như hình. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y  f (x) trên đoạn [1;3]. Tìm giá trị của M? Câu 2: Cho hàm số y  f (x) xác định và liên tục trên [2;3] có bảng biến thiên như hình bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;3]. Tính tổng M  m?