Tiêu đề Chương 2_Bài 7_Cấp số nhân_Lời giải_Toán 11_KNTT_Form 2025.pdf ✅

BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA - Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q . Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. - Cấp số nhân un  với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi  1  n n u u q với n  2 . Chú ý. Để chứng minh dãy số un  gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số 1 n nu u không đồi. 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu 1 u và công bội q thì số hạng tổng quát n u của nó được xác định bởi công thức   1 1 , n 2     n n u u q 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN Cho cấp số nhân un  với công bội q 1. Đặt n  1  2  n S u u u . Khi đó 1 1  . 1    n n u q S q B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 2.15. Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau: a) 1,4,16,; b) 1 1 2, , , 2 8   Lời giải a) Ta có: 4 : 1  4 ,1 6 : 4  4 Do đó công bội q  4 Số hạng tổng quát: 1 4 n n u   Số hạng thứ 5 : 5 1 5 u 4 256    Số hạng thứ 100: 100 1 59 100 u 4 4.017 10     b) Ta có: 1 1 1 1 1 : 2 ; : 2 4 8 2 4                 Do đó công bội 1 4 q   Số hạng tổng quát: 1 1 2 4 n n u         Số hạng thứ 5 1 5 1 1 5: 2 4 128 u         
Số hạng thứ 100: 100 1 60 100 1 2 4.978 10 4 u             Bài 2.16. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số un  sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng 1 1 n n u u q    . a) 5 n u  n; b) 5 n n u  ; c) 1 1 1, n n u u nu    ; d) 1 1 1, 5 n n u u u    . Lời giải a) Năm số hạng đầu của dãy: 5;10;15;20;25 Ta có: 3 10 : 5 2 15:10 2    suy ra un  không phải cấp số nhân b) Năm số hạng đầu của dãy: 5;25; 125; 625; 3125 Ta có 5 n n u  nên   1 1 1 1 5 5 5 2 5 n n n n n n u u n u           . Do đó un  là cấp số nhân có công bội q  5 Số hạng tổng quát: 1 5 5 n n u    c) Năm số hạng đầu của dãy: 1;2;6;24;120 Ta có: 2 :1  2  6 : 2  3 nên un  không phải là cấp số nhân d) Năm số hạng đầu của dãy: 1;5;25;125;625 Ta có: 1 5 n n u u   nên   1 5 2 n nu n u     Do đó un  là cấp số nhân với cong sai q  5 Số hạng tổng quát: 1 5 n n u   Bài 2.17. Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12 . Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này. Lời giải Gọi số hạng tổng quát của cấp số nhân là: 1 1 n n u u q    Ta có: 5 2 6 1 3 1 u  u  q  96;u  u  q 12 Nên 5 1 3 2 1 96 8 2 12 u q q q u q      Do đó: 1 u  3 Suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy là: 1 3 2 n n u    Vậy 50 1 15 50 u 3 2 1.689 10      Bài 2.18. Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2 . Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này đề có tổng bằng 5115 ? Lời giải Ta có số hạng tổng quát của dãy là 1 5 2 n n u    Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng: 51 2  5115 5 5 2 2 1024 10 1 2 n n n n S n            
Vậy số các số hạng cần lấy tổng là 10 Bài 2.19. Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng. Lời giải Giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 3 và công bội q  0,8 Giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là: 5 1 5 u 3 0,8 0,1875     (tỷ đồng) Bài 2.20. Vào năm 2020 , dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% . Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030. Lời giải Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội q= 1.0091 Dân số của quốc gia đó năm 2030 (tức n 11 ) là 11 1 11 u 97 1.0091 106.197     (triệu người) Bài 2.21. Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50mg , và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp. Lời giải Lượng thuốc trong máu mỗi ngày cảu bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 50 và công bội q  0.5 Tổng lượng thuốc trong máu 10 ngày liên tiếp chính là tổng 10 số hạng đầu cảu cấp số nhân này và bằng:   10 50 1 (0.5) 99.902 mg 1 0.5 n S         C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng mình một dãy số là cấp số nhân 1. Phương pháp Xác định một cấp số nhân là xác định số hạng đầu u1 và công bội q Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và q rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Chứng minh mỗi dãy số un  với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân. Chỉ ra số hạng đầu 1 u và công bội q : a) 3 2 4 n n u    b) ( 0,75) n n u   . Lời giải a) Ta có: 1 1 1 1 3 3 3 3 2 ; 2 2 2 2 4 2 4 4 n n n n u u u                 với mọi n  2 . Vậy dãy số un  đã cho là một cấp số nhân có 1 3 2 u   và công bội q  2 .
b) Nhận thấy 0 n u  với mọi * n . Ta có: 1 1 1 1 ( 0,75) ( 0,75) 0,75; 0,75 ( 0,75) n n n nu u u            với mọi n  2 . Vậy dãy số un  đã cho là một cấp số nhân có số hạng đầu 1 u  0,75 và công bội q  0,75 . Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng dãy số sau là cấp số nhân: 3 4 n n u   . Tìm số hạng đầu và công bội của nó. Lời giải Với mọi n  2 , ta có 1 1 3 4 4 3 4 n n n nu u       , tức là 1 4 n n u u   với mọi n  2 . Vậy un  là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 u 12 , công bội q  4 . Ví dụ 3: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó: a). 2 1 ( 3) n n u    b). 3 2 ( 1) .5 n n n u    c). 1 2 1 2 n n u u u        d). 1 1 3 9 n n u u u         Lời giải a). Ta có 2 3 1 2 2 1 ( 3) ( 3) 9 ( 3) n n n n u u          (không đổi). Kết luận un  là cấp số nhân với công bội q  9 . b). Ta có 1 3( 1) 2 1 3 3 2 ( 1) .5 1.5 125 ( 1) .5 n n n n n n u u             (không đổi). Kết luận un  là cấp số nhân với công bội q  125. c). Ta có 2 2 1 u  u  4 , 2 3 2 u  u 16 , 2 4 3 u  u  256 , suy ra 2 1 4 2 2 u u   và 4 3 256 16 16 u u   2 4 1 3 u u u u   . Do đó un  không là cấp số nhân. d). 1 1 1 1 1 9 , 2 9 n n n n n n n n u u u u u n u u u            . Do đó có: 1 3 5 2 1 .... .... n u u u u      (1) Và 2 4 6 2 .... ... n u  u  u   u  (2) Theo đề bài có 1 2 1 9 u 3 u 3 u     (3) Từ (1), (2),(3) suy ra 1 2 3 4 5 2 2 1 .... .... n n u u u u u u u         Kết luận un  là cấp số nhân với công bội q 1.