Tiêu đề BÀI 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn I. Tóm tắt lý thuyết 1) Cho đường tròn (O) bán kính R kí hiệu là (O;R) Xét vị trí điểm M trên mặt phẳng so với vị trí của (O;R): _ Điểm M thuộc (O;R) khi và chỉ khi OMR _ Điểm M nằm bên trong (O;R) khi và chỉ khi OMR _ Điểm M nằm bên ngoài (O;R) khi và chỉ khi OMR 2) Đường tròn là hình có tâm đối xứng.Tâm của đường tròn chính là tâm đối xứng của đường tròn đó 3) Đường tròn là hình có trục đối xứng. Đường kính bất kì của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó II .Bài tập Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC .Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC và cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E a. Chứng minh ,CDABBEAC b. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AKBC Định hướng lời giải : Ta dễ dàng nhận thấy OBOCODOE từ đó suy ra 2 BC ODOE Mà OD, OE lần lượt là các đường trung tuyến trong BDC và BEC nên ta có 2 tam giác này vuông tại D, E hay suy ra CDAB và BEAC Như vậy ta có BE, CD là các đường cao của ABC KBECD là trực tâm của ABC nên ta sẽ có AKBC Lời giải: a. Do D, E thuộc đường tròn (O) đường kính BC 2 BC ODOEOBOC  các tam giác BDC và BEC là các tam giác vuông tại D và E BEAC và CDAB b. Ta thấy trong tam giác ABC có các đường cao BE và CD Lại có K là giao điểm của BE và CD K là trực tâm của ABCAKBC Nhận xét : Từ bài toán này ta rút ra nhận xét đó là với mỗi điểm M bất kì thuộc đường tròn đường kính BC thì ta sẽ có  90BMC . Nhận xét này là khá quan trọng và sẽ được dùng trong rất nhiều các bài toán trong suốt chương trình hình học 9 Bài 2: Cho 3 dây AB, BC, CA của một đường tròn (O;R) trong đó AB là đường kính a. Chứng minh  90ACB b. Tìm tập hợp điểm I nhìn đoạn thẳng AB đã cho dưới một góc vuông c. Dựng ABC vuông có cạnh huyền AB cố định đã cho bằng 5cm, cạnh góc vuông 3ACcm d. Dựng trực tâm của ABC có cạnh 5,4,5,4ABcmBCcmCAcm Định hướng lời giải : Tương tự như phần a) bài 1 dễ thấy OAOBOCR do đó 2 AB OC Mà OC là trung tuyến trong ABC nên ABC vuông tại C hay  90ACB Phần b) yêu cầu tìm tập hợp điểm I nhìn đoạn thẳng AB dưới 1 góc vuông tức là  90AIB . Như vậy tam
giác AIB vuông tại I nên điều đầu tiên ta nghĩ đến đó là đường trung tuyến từ I có độ dài bằng 1 2 cạnh AB , do đó 2 AB OIR nên ;IOR từ đó suy ra tập hợp điểm I chính là đường tròn (O;R). Phần c) và d) ta chỉ cần dựa vào kết quả của phần b) và bài 1 sẽ được giải quyết Lời giải: a. Dễ thấy 2 AB OAOBOCROC Mà OC là đường trung tuyến của ABC ABC vuông tại  90CACB b. Phần thuận Ta có  90AIBAIB vuông tại I Mà IO là đường trung tuyến của AIB ; 2 AB OIRIOR * Phần đảo : Với ;IOR Theo phần a) dễ thấy  90AIB Vậy nên ta có tập hợp các điểm I nhìn đoạn thẳng AB một góc vuông là đường tròn (O) sao cho AB là đường kính c. Dựng đường tròn đường kính 5ABcm Dựng dây 3ACcm (ta luôn dựng được vì 35cmcm ) Từ đó ta sẽ dựng được tam giác ABC vuông tại C có 5,3ABcmCAcm d. Đầu tiên ta dễ dàng dựng được ABC (dựng bằng compa) Tiếp theo ta sẽ dựng đường tròn ,2Ocm với O là trung điểm của AC. Khi đó AC là đường kính của đường tròn này. Gọi D, E là các giao điểm của đường tròn (O) với các cạnh AB, BC. Khi đó nếu gọi H là giao điểm của AD và CE thì H chính là trực tâm của ABC (theo bài 1) Nhận xét : Bài toán này chính là hệ quả trực tiếp của phần nhận xét ở bài 1. Với kiến thức ở phần lí thuyết trong bài này ta vẫn chưa được sử dụng ngay nhận xét đó nhưng nó có thể giúp cho ta phát triển và giải quyết vấn đề của bài toán rất nhanh Bài 3: Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB không là đường kính). C là điểm trên tia đối của tia AB. Chứng minh điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) Định hướng lời giải : Để chứng minh được C nằm ngoài đường tròn (O;R) ta cần chứng minh OCR hay OCOA . Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng đường phụ OHAB để vận dụng quan hệ đường xiên và hình chiếu Lời giải: Hạ OHABHAB Do C nằm trên tia đối của tia AB nên dễ thấy HCHA Theo quan hệ đường xiên và hình chiếu ta suy ra OCOA hay OCR C nằm ngoài đường tròn (O;R)  đpcm Nhận xét : _ Ta có bài tập tương tự sau : Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB không là đường kính). C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB. Chứng minh điểm C nằm trong đường tròn (O;R) _ Hai bài tập này giúp ta chứng minh được định lí không tồn tại đường tròn nào đi qua 3 điểm thẳng hàng Bài 4: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn, điểm B chuyển động trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của dây AB Định hướng lời giải : Đối với những bài toán tìm quỹ tích với những hình vẽ đơn giản không quá phức tạp ta thường vẽ một 1 vài điểm trên để hình dung dễ hơn quỹ tích của chúng. Ở bài toán này ta sẽ lấy thêm 2 hoặc 3 điểm B trên đường
tròn để xác định quỹ tích trung điểm của chúng. Ta để ý rằng OAOB tức là tam giác OAB cân tại O, do đó OM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác  90OABAMO . Theo phần b) bài toán 2 ta có quỹ tích của điểm M là đường tròn đường kính OA từ đó ta có được đpcm Lời giải: * Phần thuận Ta có OAOB nên tam giác AOB cân tại O Do đó trung tuyến OM đồng thời là đường cao của  90AOBAMO Theo bài toán 2 điểm M thuộc đường tròn O có đường kính là AO cố định * Phần đảo Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn đường kính AO Gọi B là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM với (O) Cũng theo bài toán 2 ta có  90AMO OMAB mà lại có AOB cân tại O do đó OM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến M là trung điểm của AB Vậy nên quỹ tích trung điểm M của đoạn AB là đường tròn đường kính AO Nhận xét :Tiếp theo ta sẽ thử khảo sát bài toán này với trường hợp điểm A nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn (O;R). Do 2 trường hợp tương tự nhau, nên ta sẽ trình bày 1 trường hợp điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) Với trường hợp này ta cũng vẽ một số vị trí của điểm B để dự đoán quỹ tích của điểm M chuyển động trên đường tròn có tâm O là trung điểm của OA và có bán kính là 2 R * Phần thuận Gọi O là trung điểm của OA Khi đó ta có OM là đường trung bình của AOB 22 OBR OM M thuộc đường tròn ; 2 R O    * Phần đảo Gọi M là điểm bất kì thuộc đường tròn ; 2 R O    và M là giao điểm thứ 2 của AM với ; 2 R O    Gọi ,BB là 2 giao điểm của đường thẳng AM với (O;R) sao cho ABAB Khi đó dễ thấy M và M lần lượt là trung điểm của AB và AB  đpcm Kết luận : Quỹ tích trung điểm M của AB là đường tròn tâm ; 2 R O    với O là trung điểm của OA Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung AB. Trên tia BH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đoạn thẳng DO cắt AH tại M. Tìm quỹ tích của điểm M Định hướng lời giải : Hoàn toàn dễ dàng nhận ra điểm M chính là trọng tâm của ABD nên ta sẽ thu ngay được tỉ lệ 2 3 AMDM AHDO . Điều này giúp ta nghĩ đến việc kẻ đường thẳng song song từ M với đường thẳng OH cắt AO tại N để lợi dụng tỉ số 2 3 AM AH để suy ra điểm N cố định và đoạn NM có độ dài không đổi. Từ đó suy ra được quỹ tích của M là một đường tròn tâm N cố định Lời giải:
* Phần thuận : Trong ABD có đường trung tuyến AH và DO cắt nhau tại M M là trọng tâm của 2 3 AM ABD AH Từ M kẻ đường thẳng song song với OH và cắt đoạn thẳng AB tại N Theo định lí Tales, ta có : 222 333 ANMNAM ANAORN AOOHAH cố định và 22 33NMOHR M thuộc nửa đường tròn 2 ; 3NR   cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB so với nửa đường tròn (O) * Phần đảo : Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn 2 ; 3NR   cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB so với nửa đường tròn (O) Gọi H là giao điểm của AM với nửa đường tròn (O;R) Trên tia BH lấy điểm D sao cho HDHB Ta cần chứng minh OD đi qua điểm M Thật vậy ta có : 2 223 33 R NMANNM OHRAOOH    Theo định lí Tales đảo //MNOH Do đó 2 3 AM M AH    là trọng tâm của ABD  trung tuyến DO đi qua M đpcm Vậy nên quỹ tích của điểm M là nửa đường tròn 2 ; 3NR   nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB so với nửa đường tròn (O;R) Nhận xét : Dưới đây là một số bài toán tương tự : 1. Cho một đoạn thẳng cố định AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của đoạn IB. Trên tia Kx kẻ tùy ý, lấy một điểm M sao cho  KMBMAB . Tìm quỹ tích của điểm M 2. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Một đoạn thẳng MN có độ dài thay đổi, M chạy trên AB, N chạy trên AD sao cho chu vi tam giác AMN luôn bằng 2a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN. Chứng minh rằng H luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định 3. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên đường tròn (O). C là một điểm trên tia AM sao cho ACBM . Chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với AM tại C luôn đi qua một điểm cố định Bài 6:Cho ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của ABC . Vẽ OKBCKBC . Chứng minh 2AHOK Định hướng lời giải : Quan sát hình vẽ ta dễ dàng nhận ra OKBC vì tam giác BOC cân tại O và OK là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao. Từ đó ta thấy //AHOK mà đề bài yêu cầu chứng minh 2AHOK nên ta sẽ dự đoán OK là đường trung bình của tam giác nào đó chứa cạnh AH, gọi D là giao của AO và HK. Ta cần chứng minh O, K lần lượt là trung điểm của của AD, HK. Từ đó ta nhận thấy D nằm trên đường tròn (O) Lời giải: Gọi D là giao của AO và HK