Tiêu đề 030b_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Hồ Chí Minh_PTNK_25-26.pdf ✅

a) Chứng minh rằng với k = 4. Bình có thể thắng sau không quá 8 lượt. b) Chứng minh rằng với k = 2. Bình có thể thắng sau không quá 16 lượt. ĐÁP ÁN Câu 1. 2 x 2(m 1)x 2m 0 − + + = (*) a) Ta có: 2 2  = + − = +  ' (m 1) 2m m 1 0 , với mọi m Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ,x với mọi m b) Theo định lý Viet ta có 1 2 1 2 x x 2(m 1) x x 2m  + = +   = Suy ra: 4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x (x x ) 2(x x ) + = + − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 3 2 (x x ) 2x x 2(x x ) 4(m 1) 4m 8m 16m 32m 40m 32m 16 = + − −     = + − −     = + + + + Khi đó: 4 4 4 3 2 1 2 9 9 x x 16m 32m 40m 32m 16 2 2 +   + + + +  4 3 2  + + + +  32m 64m 80m 64m 23 0 2 2 2 2 5 32m (m 1) 48 m 0 3 3    + + + +      (luôn đúng) Vậy 4 4 1 2 9 x x 2 +  . c) Ta chứng minh nếu ( )( ) 2 2 1 1 2 2 x x 1 x x 1 1 + + + + = thì m = -1 Ta có: ( )( ) 2 2 1 1 2 2 x x 1 x x 1 1 + + + + = nên 2 2 2 x x 1 0 + +  Ta cũng có ( )( ) 2 2 1 1 1 1 x 1 x x 1 x 1 + + + − = nên 2 1 1 x 1 x 0 + −  Kết hợp với đề bài, suy ra 2 2 1 1 2 2 x 1 x x 1 x + − = + +