Tiêu đề Chuyên đề 10_Phương trình đường tròn_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 9. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa 1: Phương trình đường tròn tâm I a b ( ; ) bán kính R có dạng: 2 2 2 ( ) : ( ) ( ) . C x a y b R − + − = Chú ý: Phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kính R có dạng: 2 2 2 x y R + = . 2. Định nghĩa 2: Mỗi phương trình dạng 2 2 x y ax by c + − − + = 2 2 0 với điều kiện 2 2 a b c + −  0 đều là phương trình đường tròn tâm I a b ( ; ) bán kính 2 2 R a b c = + − . Chú ý: - Nếu (C) tiếp xúc Ox R b  =| |. - Nếu (C) tiếp xúc Oy R a  =| | . - Nếu (C) tiếp xúc Ox và Oy R a b  = = | | | | . - Nếu ( C ) tiếp xúc   =  R d I[ , ]. 3. Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn: Cho đường tròn ( ) C có tâm I a b ( ; ) và bán kính R . + Tiếp tuyến tại ( ) M C o  là đường thẳng đi qua M x y ( o o ; ) và có vectơ pháp tuyến o IM . + Điều kiện để đường thẳng  + + = : 0 Ax By C tiếp xúc với đường tròn ( ) C là: R d I =  [ , ]. B. BÀl TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Hình 10 mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí I có toạ độ ( 2;1) − trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).
a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km. b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí A có toạ độ Giải thích. c) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí B có toạ độ ( 3;4) − di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải a) Phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là: 2 2 2 2 2 [ ( 2)] ( 1) 3 ( 2) ( 1) 9. x y x y − − + − =  + + − = b) Khoảng cách từ tâm I( 2;1) − đến điểm A( 1;3) − là: 2 2 IA km = − − − + − = [ 1 ( 2)] (3 1) 5( ). Vì IA km  3 nên điểm A nằm trong đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, suy ra người dùng điện thoại ở vị trí A có thể sử dụng dịch vụ của trạm. c) Khoảng cách từ tâm I( 2;1) − đến điểm B( 3;4) − là: 2 2 IB km = − − − + − = [ 3 ( 2)] (4 1) 10( ) Vì IB km  3 nên điểm B nằm ngoài đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng. Xét M là điểm bất kì thuộc vùng phủ sóng, khi đó M nằm trong hoặc nằm trên đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng nên IM km  3 . Khoảng cách tính theo đường chim bay từ người ở vị trí B đến vùng phủ sóng là BM . Ta có: BM IB IM  −  − 10 3 (Vì IM  3 ). Suy ra BM nhỏ nhất bằng 10 3( ) − km khi và chỉ khi M là giao điểm của đoạn thẳng IB với đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng. Vậy khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí B di chuyển được tới vùng phủ sóng tính theo đường chim bay là 10 3 0,2( ) −  km . Câu 2: Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong Thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường
tròn tâm 3 0; 2       I bán kính 0,8 trong mặt phẳng toa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm 39 ;2 10         M , đĩa được ném đi (Hình 11). Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình như thế nào? Lời giải Sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại điểm M . Vậy quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa nằm trên đường thẳng có phương trình là: 39 39 3 0 2 ( 2) 0 10 10 2 39 39 1 ( 2) 0 10 10 2 39 5 13,9 0. x y x y x y           − − + − − =                − + − =        + − = Câu 3: Một nông trại tưới nước theo phương pháp vòi phun xoay vòng trung tâm như Hình 3. Cho biết tâm một vòi phun được đặt tại toạ độ (12; 9) − và vòi có thể phun xa tối đa 36 m . Hãy viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới. Giải Tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là đường tròn có tâm I(12; 9) − và bán kính R = 36 nên có phương trình: 2 2 2 ( 12) ( 9) 36 . x y − + + =
Câu 4: Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 6,8 m, cao 3,4 m. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào. a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng; b) Một chiếc xe tải rộng 2,4 m và cao 2,5 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng được hay không? LỜI GIẢI a) Chọn hệ tọa độ sao cho tâm của cái cổng hình bán nguyệt có tọa độ (0;0) và đỉnh của cổng có toạ độ M (0;3,4). Ta có phương trình mô phỏng của cổng là: 2 2 2 x y y + =  3,4 ( 0). b) Gọi OABC là thiết diện của xe tải (Hình 1 ). Ta có: 2 2 2 2 OB OA OC m R m = + = +   = 2,4 2,5 3,5( ) 3,4( ) . Vậy nếu đi đúng làn đường quy định thì xe tải không thể đi qua cổng. Câu 5: Có một công viên nhỏ hình tam giác như Hình 1. Người ta dự định đặt một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên. Để công việc tiến hành thuận lợi, người ta đo đạc và mô phỏng các kích thước công viên như Hình 2. Thiết lập một hệ trục Oxy như Hình 3, khi đó các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là A B C (0;3 , 4;0 , 4;7 ) ( ) ( ) . Gọi I là điểm đặt cây đèn sao cho đèn chiếu sáng toàn bộ công viên. Vậy cần đặt I ở vị trí có tọa độ bao nhiêu? Lời giải - Vùng mà cây đèn chiếu sáng được biểu diễn bằng một hình tròn mà điểm đặt cây đèn là tâm nên để chiếu sáng toàn bộ công viên ta cần đặt cây đèn ở tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. - Gọi I x y ( ; ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: A B C (0;3), (4;0), (4;7) nên: