Tiêu đề Bài 1_Vec tơ và các phép toán trong không gian_Lời giải_Toán 12_CD.pdf ✅

CHƯƠNG II: TOẠ ĐỘ CỦA VETO TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: VECTO VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTO TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM VECTO TRONG KHÔNG GIAN Tương tự như trong mặt phẳng, ta có khái niệm vectơ trong không gian: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Chú ý Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là AB  , đọc là "vectơ AB ". Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là a  , b,u,v,    Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, ... được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD ABCD. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho ba vectơ đó: a) Bằng vectơ AD  ; b) Là vectơ đối của vectơ AD  . Lời giải a) Do các vectơ BC, BC, AD    cùng hướng với vectơ AD  và AD  BC  BC  AD (tính chất hình hộp) nên AD  BC  BC  AD     . Vậy ba vectơ BC, BC   , AD  có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ AD  . b) Do các vectơ CB,CB, DA    ngược hướng với vectơ AD  và AD  CB  CB  DA Chú ý: Cho điểm O và vectơ a  . Khi đó, tồn tại duy nhất điểm M trong không gian sao cho OM  a   . Để xác định điểm M , ta làm như sau ( Hình 3 ) :
Qua O kẻ đường thẳng d song song hoặc trùng với giá của vectơ a  . Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ OM  , a  là cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ a  . II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian - Trong không gian, cho hai vectơ a,b   . Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ AB  a, BC  b     . Vectơ AC  dược gọi là tổng của hai vectơ a  và b  , kí hiệu là AC  a  b    . Chú ý - Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. - Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ-không. - Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng. - Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau: + Với ba điểm A, B,C trong không gian, ta có: AB  BC  AC    (Quy tắc ba điểm); +Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC    (Quy tắc hình bình hành). Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng AB CD  AD CB     . Lời giải Theo quy tắc ba điểm, ta có: AB  AD  DB.   
Do đó: AB CD  AD  DB CD  AD  CD  DB  AD CB           -Nếu ABCD ABCD là hình hộp thì AB  AD  AA  AC     (Quy tắc hình hộp) Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD ABCD (Hình 6). Chứng minh rằng: AB  BC  DD  AC     Lời giải Ta có: BC  AD, DD  AA     . Do đó: AB  BC  DD  AB  AD  AA  AC        . Trong không gian, cho hai vectơ a,b   . Hiệu của vectơ a  và vectơ b  là tổng của vectơ a  và vectơ đối của vectơ b  , kí hiệu là a  b   . Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCD.ABCD (Hình 8). Chứng minh rằng: BB  DB  BD    . Lời giải BB  DB  BB  DB  BB  BD  BD        Đối với vectơ trong không gian, ta có quy tắc sau: - Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: OAOB  BA    (Quy tắc hiệu). 2. Tích của một số với một vectơ trong không gian
Tương tự như trong mặt phẳng, trong không gian ta cũng có định nghĩa sau: Cho số thực k  0 và vectơ a  0   . Tích của số k với vectơ a  là một vectơ, kí hiệu là ka  , được xác định như sau: - Cùng hướng với vectơ a  nếu k  0 , ngược hướng với vectơ a  nếu k  0 ; - Có độ dài bằng k  a  . Quy ước: 0a  0, k0  0     . Do đó, ka  0   khi và chỉ khi k  0 hoặc a  0   . Chú ý - Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ. - Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau: - Với hai vectơ bất kì a,b   và hai số thực h, k ta có:           1  1 k a b ka kb k a b ka kb h k a ha ka h ka hk a a a a a                                . Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC (Hình 9). Chứng minh rằng: a) BC  2HK   b) AB  AC  AD  3AG     . Lời giải a) Do HK là đường trung bình của tam giác ABC nên BC / /HK và BC  2HK . Suy ra BC  cùng hướng với HK  và BC  2 HK   . Vậy BC  2HK   . b) Ta có: AB  AG  GB, AC  AG  GC, AD  AG  GD.          Suy ra AB  AC  AD  3AG  GA GB  GC        . Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên GA GB  GC  0     . Do đó, ta có: AB  AC  AD  3AG     . 3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian