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1/7 EPE INGENIERÍA CÁLCULO 1 – CE84 SEMANA 2 – SP2 Temario: Derivadas y Regla de la Cadena Logro de la sesión: El estudiante, interpreta la derivada, la define como función y halla las derivadas de diversas funciones. Aplica la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. LA DERIVADA COMO FUNCIÓN Si consideramos que el número a varía, es decir reemplazamos el número a por una variable x , obtenemos h xf h xf f x h ( ) )( )( lim 0 + − ′ = → de esta forma tenemos definida una nueva función f ′ , llamada la función derivada de . NOTACIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Existen varias formas de denotar la derivada de una función, entre las más conocidas están: Ejemplo: Si xf )( = x , halle f x '( ) aplicando la definición. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim 1 lim lim 1 1 lim 2 h h h h f x h f x f x h f x x f x h x h x h x x h x x h x h h x h x x h x h h x h x x → → → → + − = = → + = + + − + + + −     = =       + + + +     = =     + + Ejercicio 1: Si x y 1 = , halle y' aplicando la definición. R: 2 1 y ' x = − REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES BÁSICAS FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA f x( ) C = f x '( ) = 0 ( ) n f x x = f x '( ) = Ejemplo: a) f x f x ( ) 2021 '( ) =  =0 b) 16 f x x f x ( ) '( ) =  = c) 4 g x g x ( ) 7 '( ) =  =0 d) 10 g x x g x ( ) '( ) − =  = Función: y f x = ( ) f x ′( ) dy dx y ' df dx
CE84 CÁLCULO 1 2/7 EPE INGENIERÍA Ejercicios 2: Complete la tabla adjunta f x( ) 9 =  f x'( ) =0 34 f x x ( ) = 1 4 3 '( ) 4 f x x −  = 15 f x x ( ) = 14  f x'( ) =15x 20 1 f x( ) x = 21 21 20 f x x '( ) 20 x  − = − = − PROPIEDADES Si f y g son funciones derivables en x, se cumple que: 1. ( ) f x g x ( ) ( ) ' + = f x g x '( ) '( ) + Ejemplo: 20 2 12 h x x x ( ) 8 9 x = + − +  h x'( ) = 2. ( ) c f x( ) ' = c f x'( ) Ejemplo: 4 3 ( ) 3 h x x =  h x'( ) = g x x ( ) 8cos =  g x'( ) = 3. ( ) f x g x ( ) ( ) ' ⋅ = = ⋅ + ⋅ f x g x f x g x '( ) ( ) ( ) '( ) Ejemplo: 10 5 h x x x ( ) =  h x'( ) = √ √ √ / 4. ( ) ( ) f x g x ′     =   ( )2 '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) f x g x f x g x g x − Ejemplo: Si 2 3 5 ( ) 2 x h x x − = + , halle h x'( ) h′ 5 ́ ! 2 ! 2 ́ 5 ! 2 2 ! 2 3 5 ! 2 $ 15 4 ! 2 Ejercicios 3: a) Sabiendo que: ( ) ( ) 4 2 h x x x x ( ) 2 1 1 = + − − , halle: h x '( ) y h '( 1) − 3 2 4 2 3 2 4 ( ) 4(2 1) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) ( ) 4(2 1) (2)( 1) (2 1) (2 1) h x x x x x x x x h x x x x x x ′ ′ ′ = + + − − + + − − ′ = + − − + + − h′( 1) 11 − = − b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2 2 ( ) 4 x h x x + = + , en un punto de abscisa 0.
CE84 CÁLCULO 1 3/7 EPE INGENIERÍA ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 (0; ) 2 (0) 2 ( 4) ( 4) 2 ( ) ( 4) 1 ( 4) (2 ) 2 1 ( ) (0) ( 4) 4 1 1 : ( )( 0) 4 2 0 2 4 Punto Pendiente m h x x x x h x x x x x h x h x Ecuación y x x y = = = ′ ′ + + − + + ′ ′ = + + − + ′ ′ = → = + − = −  − + = DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Sabemos que la derivada de las funciones exponencial natural y logaritmo natural está dada por En este caso vamos a generalizar, es decir, analizaremos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas en base b, donde b 0 y b 1 > ≠ . Ejemplos: FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA ( ) 5x f x = f x'( ) = ' 3 f x x ( ) log = f x'( ) = ' ( ) ( ) 7x f x = f x'( ) = * '* f x x ( ) log = f x'( ) = ' ( ) Ejercicios 4: Si 2 5 ( ) log ln 4 ln5 x f x x = − − , halle: f x'( ) ' ( ) DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS f x x ( ) sen = ( ) f x'( ) =+,- f x x ( ) cos = ( ) f x'( ) = -./ f x x ( ) tan = ( ) f x'( ) =-.+ f x x ( ) cot = ( ) f x'( ) = +-+ f x x ( ) sec = ( ) f x'( ) = -.+ 01/ f x x ( ) csc = ( ) f x'( ) = +-+ +,0 FUNCIÓN DERIVADA ( ) ex f x = f x'( ) = f x x ( ) ln = f x'( ) = 1 x FUNCIÓN DERIVADA ( ) bx f x = f x'( ) = 2 '2 b f x x ( ) log = f x'( ) = '2 ( )
CE84 CÁLCULO 1 4/7 EPE INGENIERÍA DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ( ) 1 f x x ( ) sen− = f x x ( ) arcsen = ( ) f x'( ) = 3 ( ) 1 f x x ( ) cos− = f x x ( ) arccos = ( ) f x'( ) = 3 ( ) 1 f x x ( ) tan− = f x x ( ) arctan = ( ) f x'( ) = 4 Ejemplos: a) Si 3 f x x x ( ) ln = , halle: f x'( ) ' ( ) ' b) Si f x x x ( ) sec tan = − , halle: '( ) ( ) f x f x ́ 5 67 5 5 67 5 675 675 5 Ejercicios 5: a) Si 1 1 f x x x ( ) sen − − = , halle: f x'( ) 3 b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) cos x e f x x = en un punto cuya abscisa es 0. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (0;1) (0) (cos ) (cos ) ( ) (cos ) (cos ) ( ) ( ) (0) 1 (cos ) : 1 (1)( 0) 1 0 x x x x Punto Pendiente m h e x x e h x x e x senx e h x h x Ecuación y x x y = = = ′ ′ − ′ ′ = − − ′ ′ = → = − = −  − + = REGLA DE LA CADENA Si tenemos que derivar la función ( ) 3 f x x ( ) sen 4 = + , las propiedades anteriores no son suficientes para hacerlo, dado que la h es una función compuesta. Recordando: Si f x x ( ) sen = y 3 u x x ( ) 4 = + , halle: ( )( ) ( ) f u x f u x = = ( ) En este caso a la función ( )( ) f u x la hemos llamado ( ) 3 h x x ( ) sen 4 = + Para hallar la derivada de esta composición seguiremos la siguiente regla (llamada la regla de la cadena). h x f u x u x '( ) '( ( )) '( ) = ⋅