Tiêu đề Chủ đề 9. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN - Soạn bởi Đặng Việt Hùng.Image.Marked.pdf ✅

CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức tích phân từng phần: Nếu và là hai hàm u  u  x v  v  x số có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b thì             b b b a a a u x v x dx  u x v x   u x v x dx     Hay b b b a a a udv  uv  vdu   II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 1: Cho tích phân và . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 0 I x cos xdx    2 u  x ; dv  cos xdx A. . B. . 2 0 0 I x sin x x sin xdx      2 0 0 I x sin x x sin xdx      C. . D. . 2 0 0 I x sin x 2 x sin xdx      2 0 0 I x sin x 2 x sin xdx      Lời giải Ta có . Chọn D. 2 2 0 0 2 sin 2 sin cos sin u x du xdx I x x x xdx dv xdx v x                  Ví dụ 2: Cho tích phân . Tính   2 2 0 2 1 x x  e dx  ae  be  c  a,b,c 2 2 2 S  a  b  c A. . S 13 B. . S 10 C. . S  5 D. . S  8 Lời giải Đặt       2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 x x x x x x u x du dx x e dx x e e dx x e e du e dx v e                        Suy ra . Chọn B. 2 2 2 a  3;b  0;c 1 S  a  b  c 10 Ví dụ 3: Cho tích phân   với . Tính 2 2 2 0 I x 1 sin xdx a b c          a,b,c 2 2 2 T  a  b  c A. . T  9 B. . T 12 C. . T  2 D. . T 10 Lời giải Đặt 2 1 2 sin cos u x du xdx dv xdx v x             
Khi đó   2 2 2 2 0 0 0 I x 1 cos x 2 x cos xdx 1 2 x cos xdx            Xét tích phân , ta đặt 2 0 J x cos xdx    cos sin u x du dx dv xdx v x            Khi đó 2 2 2 0 0 0 sin sin cos 1 2 2 J x x xdx x             Vậy . Chọn C. 0 1 1 2 1 a I b T c                Ví dụ 4: Cho tích phân   với . Khẳng định nào dưới đây là 3 2 2 I  3x 1 ln xdx  a ln 3 bln 2  c  a,b,c khẳng định đúng? A. . a  3b B. . a  3b C. . a  b  40 D. . a  b  20 Lời giải Đặt       3 3 3 2 2 2 3 2 ln ln 1 3 1 dx u x du x I x x x x dv x dx v x x                      . Chọn B. 3 3 2 22 30ln 3 10ln 2 30ln 3 10ln 2 30; 10; 3 3 3 x x a b c b                    Ví dụ 5: Cho , với , tổng bằng   4 1 ln 1 .ln 3 .ln 2 x I dx a b c x       a,b,c a  b  c A. 8. B. 4. C. 12. D. 0. Lời giải Đặt , khi đó       ln 1 2 1 2 1 dx u x du x x dx v x v x                       4 4 1 1 2 1 ln 1 dx I x x x          4 4 1 1 6 2 1 ln 1 2 6.ln 3 4.ln 2 2 .ln 3 .ln 2 4 2 a x x x a b c b c                      Vậy tổng . a  b  c  6  4  2  0 Chọn D.
Ví dụ 6: Cho tích phân với và là phân số tối giản. Khẳng định   2 2 0 sin 1 cos x x a I dx c x b        a,b,c a b nào sau đây là đúng? A. . a  b  3c B. . a  2b  c C. . a  b  2c D. . a  2b  3c Lời giải Đặt   2 2 2 0 0 sin 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos u x du dx x dx x x I dv dx v x x x x                          2 2 2 0 0 1 1 1 tan 1 1; 2; 1 2 2 2 2 2cos 2 dx x a b c x                 Do đó . a  b  3c Chọn A. Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn Ví dụ 1: Cho hàm số f  x thỏa mãn điều kiện và . Tính tích phân     1 0 x 1 f ' x dx 10  2 f 1  f 0  2   1 0 f x dx  A. . I  12 B. . I  8 C. . I 12 D. . I  8 Lời giải Đặt , khi đó     u x 1 du dx dv f x dx v f x                          1 1 1 0 0 0 x 1 f ' x dx  x 1 f x  f x dx   10  2 f 1  f 0  I  I  2 f 1  f 0 10  2 10  8 . Chọn D. Ví dụ 2: Cho . Tích phân         bằng: 2 0 1 2x f  x dx  3 f 2  f 0  2016    1 0 f 2x dx  A. 4032. B. 1008. C. 0. D. 2016. Lời giải Xét tích phân     2 0 1 2x f  x dx  Đặt           2 2 0 0 1 2 2 1 2 2 u x du dx I x f x f x dx dv f x dx v f x                                2 2 2 0 0 0  3 f 2  f 0  2 f x dx  2016  2016  2 f x dx  f x dx  2016    Xét ,   đặt , đổi cận suy ra . Chọn B. 1 0 J  f 2x dx  t  2x  dt  2dx     2 2 0 0 1 . 1008 2 2 dt J  f t  f x dx   
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x thỏa mãn điều kiện và . Tính tích phân   1 0 1 1 f x dx x     f 1  2 f 0  2     1 2 0 1 f x dx x   A. B. C. D. Lời giải Đặt , khi đó       2 1 1 1 u dx x du x dv f x dx v f x                            1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 f x f x f x dx dx x x x         Suy ra . Chọn A.           1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 .2 0 1 2 2 2 f x f I I f f f x                        Ví dụ 4: Cho là   một nguyên hàm của hàm số . Tính tích phân 2 3 F x  x  ln x f  x x   1 ln e f  x xdx  A. . B. . C. . D. . 2 I  e  3e 2 I  e  3 2 I  e  e 2 I  e  4 Lời giải Đặt         1 1 1 ln ln . e u x du dx e f x x I x f x dx dv f x dx x v f x                         2 3 2 2 1 ln ln 2 2 e  I   xf x  x  x  f e  e    f e  e   Mặt khác       2 3 2 ln 2 2 3 x f x xF x x x f e e x              Do đó . Chọn B. 2 I  e  3 Ví dụ 5: Cho là   một nguyên hàm của hàm số . Tính tích phân 3 2 x F  x  x e   3 . x f x e   1 3 0 . x I  f  x e dx  A. . I  e B. . I  e 1 C. . I  e 1 D. . I  e Lời giải Đặt     3 3 3 x x u e du e dx dv f x dx v f x                       1 1 1 3 3 3 3 2 3 0 0 0 3 3 x x x x  I  e f x  e f x dx  e f x  x  x e     Trong đó .   Chọn A.     3 2 1 3 2 3 2 0 4 2 2 2 x x x F x x x x f x I e x x x e e e           