Tiêu đề Pembahasan SMA Matematika - SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024.pdf ✅

Page 1 BIDANG : MATEMATIKA SMA SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA SMA SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 1. (Identitas Aljabar) – Mudah Diberikan bilangan real tak nol a, b, c, dan d sehingga a b + c d = 7 dan b a + d c = 7 3 . Nilai dari 9 (( a b − c d ) 2 + ( b a − d c ) 2 ) adalah ... a. 259 b. 291 c. 370 d. 405 e. 496 Jawaban: C Pembahasan: Misalkan x = a b dan y = c d . Akan dicari nilai dari 9 (( a b − c d ) 2 + ( b a − d c ) 2 ) = 9 ((x − y) 2 + ( 1 x − 1 y ) 2 ) dengan x + y = 7 dan 1 x + 1 y = 7 3 . Perhatikan bahwa 1 x + 1 y = 7 3 ⇒ x + y xy = 7 3 ⇒ 7 xy = 7 3 ⇒ xy = 3. Akibatnya, berdasarkan identitas aljabar (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , didapat 9 ((x − y) 2 + ( 1 x − 1 y ) 2 ) = 9 (x 2 − 2xy + y 2 + 1 x 2 − 2 xy + 1 y 2 ) = 9 (x 2 − 6 + y 2 + 1 x 2 − 2 3 + 1 y 2 ) = 9 ((x + y) 2 − 2xy − 6 + ( 1 x + 1 y ) 2 − 2 xy − 2 3 ) = 9 (49 − 6 − 6 + 49 9 − 2 3 − 2 3 ) = 370. Jadi, 9 (( a b − c d ) 2 + ( b a − d c ) 2 ) = 370. 2. (Barisan Aritmetika) – Mudah Diberikan barisan aritmetika (an )n≥1. Jika a1011 = 2024 dan a2024 = 4050 serta nilai dari a3036 adalah M, maka jumlahan digit-digit M adalah ... a. 9 b. 11 c. 13 d. 15 e. 17 Jawaban: E Pembahasan: Misalkan an = a + (n − 1)b, didapat 2024 = a + 1010b dan 4050 = a + 2023b sehingga diperoleh b = 2. Akibatnya, a = 2024 − 1010 ⋅ 2 = 2024 − 2020 = 4 sehingga
Page 2 BIDANG : MATEMATIKA SMA SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA a3036 = 4 + 3035 ⋅ 2 = 4 + 6070 = 6074. Dengan demikian, jumlahan digit-digit M adalah 6 + 0 + 7 + 4 = 17. 3. (Barisan Geometri) – Mudah Diberikan barisan geometri turun an sehingga memenuhi a7 = 3 10 (a8 − a6 ). Jika a1 + a2 = 36 dan a2024 dapat dinyatakan dalam bentuk s 3 t dengan s dan t merupakan bilangan asli yang memenuhi s < 3 t , maka nilai dari 2024s − t = ⋯ a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 7 Jawaban: C Pembahasan: Misalkan an = a1r n−1 dengan r dan n berturut-turut menyatakan rasio dan banyak suku barisan tersebut. Karena a7 = 3 10 (a8 − a6 ), diperoleh 10a1r 6 = 3a1r 7 − 3a1r 5 ⇒ 10r = 3r 2 − 3 ⇒ 3r 2 − 10r − 3 = 0 ⇒ (3r − 1)(r − 3) = 0 ⇒ r = 1 3 ∨ r = 3. Karena barisan tersebut merupakan barisan turun, haruslah r = 1 3 . Akibatnya, a1 + a2 = 36 ⇒ a1 + a1 ⋅ 1 3 = 36 ⇒ 3a1 + a1 = 108 ⇒ 4a1 = 108 ⇒ a1 = 108 4 = 27. Dengan demikian, diperoleh a2024 = a1r 2023 = 27 ⋅ 1 3 2023 = 1 3 2020. Jadi, s = 1 dan t = 2020 sehingga 2024s − t = 2024 ⋅ 1 − 2020 = 2024 − 2020 = 4. 4. (Ketaksamaan) – Mudah Diberikan bilangan real positif x. Jika nilai maksimum dari x 2 + 2 − √x 4 + 4 x dapat ditulis dalam bentuk p√q + r dengan p, q, dan r merupakan bilangan asli sehingga r bukan bilangan kuadrat, maka nilai dari 20p + 24q + 4r adalah ... a. 64 b. 80 c. 96 d. 127 e. 218 Jawaban: B Pembahasan: Tinjau bahwa x 2 + 2 − √x 4 + 4 x = (x 2 + 2) 2 − x 4 − 4 x(x 2 + 2 + √x 4 + 4) = 4 x + 2 x + √x 2 + 4 x 2 . Dengan ketaksamaan AM-GM, didapat x + 2 x ≥ 2√2 dan x 2 + 4 x 2 ≥ 4. Akibatnya,
Page 3 BIDANG : MATEMATIKA SMA SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA x 2 + 2 − √x 4 + 4 x ≤ 4 2√2 + 2 = 2√2 − 2. Kesamaan terjadi saat x = √2. Dengan demikian, diperoleh p = q = 2 dan r = −2 sehingga 20p + 24q + 4r = 20 ⋅ 2 + 24 ⋅ 2 + 4(−2) = 40 + 48 − 8 = 80. 5. (Barisan Rekursif) – Mudah Diberikan barisan bilangan asli (an ) dengan an+1 = an + 20 untuk setiap n ≥ 1. Jika 20 ∣ a1 sehingga a2024 merupakan bilangan bulat terkecil, maka jumlahan digit-digit a2024 yang mungkin adalah ... a. 5 b. 7 c. 11 d. 14 e. 16 Jawaban: E Pembahasan: Perhatikan bahwa a2 = a1 + 20 a3 = a2 + 20 a4 = a3 + 20 ⋮ a2024 = a2023 + 20. Akibatnya, a2024 = a1 + 20 ⋅ 2023. Karena 20 ∣ a1 sehingga a2024 bernilai minimum, haruslah a1 = 20 sehingga a2024 = 20 + 20 ⋅ 2023 = 20(1 + 2023) = 20 ⋅ 2024 = 40480. Dengan demikian, jumlahan digit-digit a2024 adalah 4 + 0 + 4 + 8 + 0 = 16. 6. (Polinom dan Akar Polinom) – Mudah Diberikan polinomial P(x) = x 5 − 20x + 24. Misalkan a, b, c, d, dan e merupakan akar-akar dari polinomial P. Nilai dari |2a + 2b + c 5 + d 5 + e 5 | adalah ... a. 38 b. 72 c. 93 d. 107 e. 124 Jawaban: B Pembahasan: Berdasarkan teorema Vieta pada P, didapat a + b + c + d + e = 0. Karena c, d, dan e merupakan akar-akar dari P, berlaku c 5 = 2c − 24, d 5 = 2d − 24, dan e 5 = 2e − 24. Akibatnya, |2a + 2b + c 5 + d 5 + e 5 | = |2a + 2b + (2c − 24) + (2d − 24) + (2e − 24)| = |2(a + b + c + d + e) − 24 ⋅ 3| = |2 ⋅ 0 − 72| = 72. Dengan demikian, nilai dari |2a + 2b + c 5 + d 5 + e 5 | adalah 72. 7. (Algoritma Pembagian) – Mudah
Page 4 BIDANG : MATEMATIKA SMA SIANTAR SCIENCE OLYMPIAD 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA Diberikan polinomial P(x) = 3x 7 − 4x 4 + 3x 2 + 2x + 1 dan Q(x) = x 2 − x − 1. Jika G(x) dan H(x) berturut-turut merupakan hasil dan sisa pembagian P(x) oleh Q(x), maka jumlahan semua koefisien dan konstanta dari G(x) + H(x) adalah ... a. 58 b. 76 c. 80 d. 99 e. 103 Jawaban: D Pembahasan: Berdasarkan algoritma pembagian pada polinomial, didapat 3x 7 − 4x 4 + 3x 2 + 2x + 1 = (x 2 − x − 1)(3x 5 + 3x 4 + 6x 3 + 5x 2 + 11x + 19) + (32x + 20). Akibatnya, didapat G(x) = 3x 5 + 3x 4 + 6x 3 + 5x 2 + 11x + 19 dan H(x) = 32x + 20. Dengan demikian, jumlahan semua koefisien dan konstanta dari G(x) + H(x) adalah 3 + 3 + 6 + 5 + 11 + 19 + 32 + 20 = 99. 8. (Identitas Aljabar) – Mudah Diberikan bilangan real positif x dan y sehingga x + y = 19 dan xy = 9. Nilai dari x√x + y√y adalah ... a. 70 b. 80 c. 90 d. 100 e. 120 Jawaban: B Pembahasan: Perhatikan bahwa x√x + y√y = (√x) 3 + (√y) 3 . Selanjutnya, menggunakan identitas aljabar a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ), didapat x√x + y√y = (√x + √y) ((√x) 2 − √x√y + (√y) 2 ). Berikutnya, tinjau bahwa (√x + √y) 2 = (√x) 2 + (√y) 2 + 2√x√y = x + y + 2√xy = 19 + 2√9 = 19 + 6 = 25 sehingga √x + √y = 5. Akibatnya, x√x + y√y = 5(19 − 3) = 5 ⋅ 16 = 80. 9. (Angle Chasing) – Mudah Diberikan persegi satuan ABCD. Misalkan M dan N berturut-turut merupakan titik tengah segmen garis BC dan CD. Misalkan AM dan AN berpotongan dengan BD berturut-turut di titik P dan Q. Jika luas daerah PQNM dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan sederhana a b , dimana a dan b merupakan bilangan asli, maka 20a + 24b = ⋯ a. 319 b. 414 c. 518 d. 676 e. 750