Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 3. BA ĐƯỜNG CONIC.pdf ✅

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ - Nếu điểm M x y ( ; ) thuộc ( ) E thì       a x a b y b , . Do đó, mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh thì đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở. Ví dụ 1. Cho elip 2 2 ( ) : 1 25 9   x y E . a) Tìm toạ độ các đỉnh của elip. b) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của elip. Lời giải: a) Ta có: 2 a  25 , suy ra 2 a b   5; 9 , suy ra b  3 . Vậy elip có các đỉnh là 1 2 1 2 A A B B ( 5;0), (5;0), (0; 3), (0;3)   . b) Toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là P Q R S ( 5;3), (5;3), (5; 3), ( 5; 3)     . Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip, biết 1 A ( 4;0)  và 2 B (0;2) là hai đỉnh của nó. Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là 2 2 2 2     1( 0) x y a b a b . Elip đã cho có hai đỉnh là 1 A ( 4;0)  và 2 B (0;2) nên a b   4, 2 hoặc a b   2, 4. Mà a b  nên a b   4, 2. Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là 2 2 2 2 1 4 2   x y hay 2 2 1 16 4   x y . - Nếu tỉ số b a càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt", do đó ( E ) càng "gầy". - Nếu tỉ số b a càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó ( ) E càng "béo". III. TÂM SAI CỦA ELIP Trong mặt phẳng, cho hai điểm 1 2 F F, với 1 2 F F c  2 . Như đã biết, elip là tập hợp những điểm M trong mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai điểm 1 2 F F, bằng hằng số 2a cho trước ( 0) a c   . Vì thế, người ta thường mô tả những yếu tố đặc trưng cho elip chỉ thông qua các hằng số a và c . Chẳng hạn, thay vì sử dụng tỉ số b a , người ta sử dụng tỉ số c a . Hơn nữa, tỉ số c a đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu các tính chất của elip nói riêng và ba đường conic nói chung. Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e , tức là  c e a . Nhận xét: 2 2 2 •0 1 • 1             e a b b e a a . Từ mối liên hệ giữa hình dạng của hình chữ nhật cơ sở với hình dạng của elip, ta có: Nếu e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip càng "gầy"; nếu e càng bé (tức là càng gần 0) thì elip càng "béo" (Hình 6).
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 Ví dụ 3. Tìm toạ độ tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của elip có phương trình chính tắc là 2 2 1 25 9   x y . Lời giải: Ta có: a b   5, 3. Suy ra 2 2 2 2 2 c a b      5 3 16, tức là c  4 . Suy ra 2 8 c  . Vậy elip có hai tiêu điểm là F F 1 2 4; 0 , 4; 0    và có tiêu cự là 8 . Tâm sai của elip là 4 0,8 5 c e a    Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng 3 5 . Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là 2 2 2 2     1( 0) x y a b a b . Theo đề bài elip có tiêu cự bằng 12 2 12 6     c c . Elip có tâm sai bằng 3 3 6 3 2 2 2 2 10 10 6 8 5 5 5             c a b a c a a . Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là 2 2 2 2 1 10 8   x y hay 2 2 1 100 64   x y . Ví dụ 5. Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20 m , mặt cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 7. Giả sử tâm sai của đường elip là e  0,5 . a) Tìm chiều cao của đường hầm đó. b) Tìm độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải là 3 m. Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét. Lời giải: Gọi chiều cao của đường hầm là b m( ). Khi đó elip có bán trục lớn là a m 10( ) , bán trục bé là b m( ). Elip có nửa tiêu cự là c a e m      10 0,5 5( ) . a) Chiều cao của đường hầm là 2 2 2 2 b a c m      10 5 8,7( ) .
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ b) Phương trình chính tắc của elip là 2 2 1 100 75   x y . Một điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải 3 m có hoành độ x  7 . Do đó độ cao của đường hầm tại điểm đó là y  0 thoả mãn 2 2 7 1 100 75   y . Suy ra 2 7 75 1 6, 2 100           y . Vậy độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải 3 m là khoảng 6, 2 m . IV. BÁN KÍNH QUA TIÊU CỦA MỘT ĐIỂM THUỘC ELIP Với mỗi điểm M thuộc đường elip, các đoạn thẳng 1 2 MF MF , được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M . Độ dài các bán kính qua tiêu là 1 2 MF a ex MF a ex     , . Nhận xét: Ta có thể sử dụng công thức tính độ dài bán kính qua tiêu để lập phương trình chính tắc của elip. Cụ thể, ta chứng minh được rằng: Nếu điểm M x y E ( ; ) ( )  thì 2 2 2 2  1(1) x y a b , ở đó 2 2 b a c   ; ngược lại, nếu điểm M có toạ độ ( ; ) x y thoả mãn (1) thì 1 2     , cx cx MF a MF a a a . Do đó 1 2 MF MF a   2 , tức là M thuộc elip ( ) E . Vậy phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip đã cho. Ví dụ 6. Cho elip có phương trình chính tắc 2 2 1 25 9   x y . Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M . Lời giải: Ta có: 2 2 c a b      25 9 4. Do đó 4 0,8 5    c e a . Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là: 1 2 MF a ex MF a ex           5 0,8.2 6,6; 5 0,8.2 3, 4. Ví dụ 7. Cho elip có phương trình chính tắc là 2 2 2 2  1 x y a b . Giả sử M x y ( ; ) là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của bán kính qua tiêu MF1 và MF2 . Lời giải: Theo công thức về độ dài bán kính qua tiêu, ta có: 1   c MF a x a . Vì    a x a nên 1            .( ) . c c c a a a x a a a c MF a c a a a . Vậy MF1 có giá trị nhỏ nhất là a c  khi x a   và có giá trị lớn nhất là a c  khi x a  . Bằng lập luận tương tự, ta thấy MF2 có giá trị nhỏ nhất là a c  khi x a  và có giá trị lớn nhất là a c  khi x a   . Ví dụ 8. Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip (E) mà Trái Đất là một tiêu điểm. ( ) E có độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là (khoảng) 768800 km và 767619 km