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IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL-JULIO 2025 1 ALGEBRA SEMANA No 03 PRODUCTOS NOTABLES COORDINADOR: BRAYAN ALEJANDRO MARQUEZ CHUMACERO PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones que por la forma que presentan se pueden obtener directamente. Los principales productos notables son MONOMIO CUADRADO PERFECTO a + b 2 = a2 + 2ab + b2 a − b 2 = a2 − 2ab + b2 DIFERENCIAS DE CUADRADOS a + b a − b = a2 − b2 a m + bn a m − bn = a2m − b2n CUADRADO DE UN TRINOMIO a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2 ab + bc + ac CUBO DE UN BINOMIO a + b 3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 a + b 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) a − b 3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a − b 3 = a3 − b3 − 3ab(a − b) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS a + b a 2 − ab + b2 = a3 + b3 a − b a 2 + ab + b2 = a3 − b3 CUBO DE UN TRINOMIO a + b + c 3 = a3 + b3 + c3 + 3 a + b b + c a + c a + b + c 3 = a3 + b3 + c3 + 3 a + b + c ab + bc + ac − 3abc a + b + c 3 = 3 a + b + c a 2 + b2 + c2 − 2 a 3 + b3 + c3 + 6abc EQUIVALENCIA DE GAUSS a 3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac) BINOMIO CON TERMINO COMUN (STIVEN) x + a x + b = x2 + a + b x + ab EQUIVALENCIA DE LAGRANGE a 2 + b2 x 2 + y2 = ax + by 2 + ay − bx 2 EQUIVALENCIA DE ARGAN’D x 2 + xy + y2 x 2 − xy + y2 = x4 + x2 y 2 + y4 x 2 + x + 1 x 2 − x + 1 = x4 + x2 + 1 EQUIVALENCIAS QUE NO SON PRODUCTOS NOTABLES a + b 2 + a − b 2 = 2 a 2 + b2 a + b 2 − a − b 2 = 4ab a + b b + c a + c + abc = (a + b + c)(ab + bc + ac) EQUIVALENCIAS CONDICIONALES Si a + b + c = 0 ; se verifica que: a 2 + b2 + c2 =− 2(ab + bc + ac) a 3 + b3 + c3 = 3abc a 4 + b4 + c4 = 2(a2 b 2 + b2 c 2 + a2 c 2 ) a 2 + b2 + c2 2 = 2 a 4 + b4 + c4 CUESTIONARIO 1.Si a − b = b − c = 2 Calcular:T = a a 2−bc +b b 2−ac +c c 2−ab a+b+c a)6 M b)7 c)8 d)9 e)10 2. x + y = 8 ; xy = 9 Calcular:x 3 + y3 a)269 b)296 F c)396 d)369 e)796 3. Se sabe que a + b = ab = 5 Calcular:P = a 3+b3+10 a 2+b2+5 a)0 b)1 c)2 d)3 F e)4 4.S = 1 a + 1 b = 1 a+b Calcular: K = a+b 6−6 a 6+b6 ab 3 a)7 b)-7 c)9 d)-9 e)-11 D 5.Si p − q − r = 2 ; pq + pr = qr Calcular:p 2 + q2 + r2 a)2 b)-2 c)4 F d)-4 e)1
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL-JULIO 2025 2 ALGEBRA 6.Calcular: E, si se verifica que: a + b + c 2 = 3 ab + bc + ac ; a;b;c ∈R E = 3 a + b + c 4 a 4 + b4 + c4 + 5 a + b + c 6 a 6 + b6 + c6 a)3 b)-3 c)4 d)-6 e)6 M 7.Si x 2 − 3x + 2 = x − k 2 + p Calcular el valor de ̈p ̈ a)1 b)-1 c)2 d)-2 e)− 1 4 F 8. a + b 2 + a − b 2 = 4ab Calcular:W = a 2+b2 2ab + a 3−b3 3ab a)1 M b)-1 c)2 d)-2 e)0 9. Efectuar: x + y 2 − x − y 2 a)2x b)2y c)4 xy F d)2 xy e)0 10.Sabiendo que: a − b = 2 ; 2a + b = 8 2 Calcular:a 2 − b2 a)2 b)3 c)4 d)8 e)10 F 11.Calcular:a 3 + b3 + c3 Si a + b a + c b + c = 72 a + b + c = 8 a)291 b)292 c)293 d)295 e)296 F 12. Si a b + b a = 27 Calcular:M = 4 a b − 4 b a a)1 b)2 c)8 d)6 e)5 M 13.Si x = 3 3 + 8 + 3 3 − 8 Calcular:x 3 − 3x + 14 a)30 b)45 c)20 M d)21 e)22 14.Efectuar: 1 + 6 + 3 + 2 1 + 6 − 3 − 2 a)1 b)2 M c)3 d)4 e)5 15.Efectuar: 5 + 2 6 5 − 2 6 a)5 b)6 c)1 F d)2 e)3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.¿Cuales de las siguientes desigualades son verdaderas? I.a2 + b2 = a + b 2 II.a3 + b3 = a − b a 2 − b2 III. a − b 3 = a3 − b3 IV. a + b a − b = a2 − b2 a)I,II,III b)I c)II d)III e)IV F 2.Si a + b + c = 0 Calcular: K = a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab a)1 b)2 c)3 F d)4 e)5 3.Efectuar: a b a + b a b a)0 b)a c)2ab d)4ab F e)5ab 4.Si x +1 x 2 = 45 Calcular: x 2 − 1 x 2 2 a)1845 M b)1855 c)1865 d)1895 e)1885 5.Si 1 x + 1 y = 4 x+y Calcular:E = x 2+y3 x 3+y2 a)1 M b)3 c)8 d)2 e)4 HOJA DE CLAVES CICLO REGULAR: ABRIL-JULIO 2025 CURSO: ALGEBRA
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL-JULIO 2025 3 ALGEBRA TEMA: PRODUCTOS NOTABLES SEMANA:03 PREGUNTA CLAVE TIEMPO DIFICULTAD 01 A 3 M 02 B 2 F 03 D 2 F 04 E 4 D 05 C 3 F 06 E 3 M 07 E 2 F 08 A 3 M 09 C 2 F 10 E 2 F 11 E 2 F 12 E 3 M 13 C 3 M 14 B 3 M 15 C 2 F PROB PROP 01 E 2 F 02 C 2 F 03 D 2 F 04 A 3 M 05 A 3 M
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL-JULIO 2025 1 ALGEBRA SEMANA No 01 TEORIA DE EXPONENTES - ECUACIONES EXPONENCIALES COORDINADOR: BRAYAN ALEJANDRO MARQUEZ CHUMACERO . TEORIA DE EXPONENTES Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellas mediante propiedades se basa en la potenciación. b n = p b = base;n = exponente,p = potencia PROPIEDADES 1.x m.xn = xm+n ,∀ x∈R 2.x.x.x.x......x = xn ,∀ n∈N ∧ x∈R 3.x m x n = xm−n 4. x n m = xn.m 5.x p = xq ,p = q 6.x x = yy ,x = y ......simetría 7. x m.xn .xp r = xm.r.xn..r.xp.r 8. x q p n m = xq.p.n.m 9.x n .yn .zn = x.y.z n 10.x n y n = x y n 11. x y −n = y x n 12. n x m = x m n 13.n x.y = n x.n y 14.x−n = 1 x n 15.x0 = 1 Nota:00 es indeterminado Regla de signos + a par =+ − a par =+ + a impar =+ − a impar =− ECUACIONES EXPONENCIALES Se denomina así aquellas ecuaciones cuya incógnita se encuentra únicamente en el exponente, siendo las bases positivas y distintas de la unidad. PROPIEDADES 1. ∀ a > 0 ∧ a ≠ 1, si x x = xy ;x = y 2. ∀ a,b > 0 ∧ a ≠ b, si x x = xy ;x = 0 CUESTIONARIO 1.Simplificar A = 3 X+2 + 3X+3 3 X+1 + 3X+2 a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 2.Determinar el valor de ̈x ̈ 7 7 16 + 7x 7 x + 72 = 7 a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 3.Si x x = 2 Calcular:x 2xx+1 a)16 b)18 c)20 d)22 e)24 4.Hallar ̈x ̈ en: 2 x+1 + 2x−1 = 20 a)3 b) 4 c) 5 d)6 e) 7 5. Si mn = 2 y n m = 3 B = mn m+1 .n m n+1 a)70 b)71 c)72 d)73 e)74