Tiêu đề Đề số 18.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 18 Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) thỏa mãn: 22024319.nmm b) Cho a, b,c,d là các số nguyên biết a + 3b = c + 2d. Chứng minh rằng 222294abcd viết được dưới dạng tổng ba số chính phương Câu 2 (7,0 điểm). a) Giải hệ phương trình 3 2 ()()()0 (2)(5)(2)35 xyxyxyxyxy yyyxx     b) Giải phương trình 22224(1)14(1)122xxxxxxx Câu 3 (1,5 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 23cbabc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 578 .P bcaabcacb  Câu 4 (7,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) cố định và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O; R) (B, C là các tiếp điểm). Qua A vẽ đường thẳng cố định cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt I và E (I nằm giữa hai điểm A, E và  90EBC∘ ). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Qua H vẽ đường thẳng (d) song song với BE, biết (d) cắt các đường thẳng BI, BA lần lượt tại Q và N. Đường thẳng BE cắt đường thẳng AO tại K. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AQ và BK . a) Chứng minh rằng BIBE CICE b) Chứng minh rằng HB là đường phân giác của  NHM c) Vẽ đường tròn (P; 1R ) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm I và E. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AD, AJ với đường tròn (P; 1R ) (D, J là các tiếp điểm). Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng DJ và AE. Chứng minh đường tròn đường kính TP luôn đi qua 2 điểm cố định. Câu 5 (1,0 điểm). Trong phòng có 121 người, biết mỗi người quen với ít nhất 81 người khác. Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) thỏa mãn: 22024319.nmm Trường hợp 1: với n < 0, 2mm là số nguyên, 2024319.n không phải là số nguyên (Loại) Trường hợp 2: Với 22n0mm20mm200(m4)(m5)0 Do đó m = 4 (thỏa mãn), m = -5 (thỏa mãn) Trường hợp 3: Với n > 0 ta có 2024319.n chia 3 dư 1 Ta có: 2(1)mmmm , nếu m3k,m3k2m(m1)3⋮ Nếu m3k1m(m1) chia 3 dư 2 22024nmm319 vô lí Vậy (m,n)(4,0),(m,n)(5,0) b) Cho a, b,c,d là các số nguyên biết a + 3b = c + 2d. Chứng minh rằng 222294abcd viết được dưới dạng tổng ba số chính phương Từ a + 3b = c + 2d a3bc2d02a(a3bc2d)0 Ta có: 2222222294942(32)abcdabcdaabcd 22222222 942624()(2)(3)abcdaabacadacadab (đpcm) Câu 2 (7,0 điểm). a) Giải hệ phương trình 3 2 ()()()0 (2)(5)(2)35 xyxyxyxyxy yyyxx     Từ pt (1) ta có  32 22 ()()()0 (1)0 xyxyxyxyxy xyxxyy   Trường hợp 1: 2 22213 000 24xxyyxyyxy    thỏa mãn pt (2) Trường hợp 2: 101xyyx thay vào phương trình (2) Ta có: 2(1)(6)(3)(2)35xxxxx 222667656357535xxxxxxx xx     (vì x = 0 không là nghiệm)
2 6 0 66 120 6 12 x x xx xx x x          Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm: (0;0),(630;530),(630;530) b) Giải phương trình 22224(1)14(1)122xxxxxxx ĐKXĐ: x = -1 hoặc 1x Xét x = −1 (không thỏa mãn) Xét 1x ta có pt 2224(x1)x1(x11)x2x2x 22x24(x1)x1xx2(x2) x11    22 x2 4(x1)x1 xx2 x11         Ta có x = 2 (thỏa mãn) Với 22224(1)124(1)12(11) 11 xx xxxxxxx x    Ta có: 22x11x1,2x1,x22x1x (với 1x ) 224(1)12(11)xxxxx nên phương trình (*) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là x = 2. Câu 3 (1,5 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 23cbabc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 578 .P bcaabcacb  111111 235P bcaabcbcaacbabcacb     Áp dụng BĐT: 11481220235 (,0)2 222xyP xyxybcabca    
Ta có: 23 2c3ba. bcabc 55 22245Paa aa     (BĐT Cô-si) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 . Dấu bằng xảy ra khi 5abc Câu 4 : a) Chứng minh rằng BIBE CICE Xét hai tam giác ABI và tam giác AEB có  BAE chung 1 2ABIBEIsdBI ΔΔ(gg)BIAB ABIAEB BEAE∽ Tương tự, Δ(gg)CIAC ACIAEC CEAE Mà AB = AC, kết hợp (1), (2) BICIBIBE BECECICE (điều phải chứng minh) b) Chứng minh rằng HB là đường phân giác của  NHM Xét hai ΔBQN và ΔEBI có  ,NBQBEINQBEBI (so le trong) ΔΔ(gg)BQEB BQNEBI NQIB∽ (3) Xét ΔBHQ và ΔEIC có 1 , và  2QBHIECsdICECIBQH (cùng bù  IBE )