Tiêu đề Bài 3_Tiệm cận của đồ thị hàm số_Lời giải.Image.Marked.pdf ✅

BÀI 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x  a được gọi là một đurờng tiệm cận đứng (hay tiệm cận đúnng) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) x a x a x a x a f x f x f x f x                 Đường thẳng x  a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f (x) được minh hoạ như Hình 2. Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau: a) 2 1 x y x   b) 2 1 y x   . Lời giải a) Tập xác định: D   \{1;1}. Ta có 2 2 1 1 lim ; lim x 1 x 1 x x x x            . Suy ra đường thẳng x  1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Ta có 2 2 1 1 lim ; lim x 1 x 1 x x x x           . Suy ra đường thẳng x 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) Tập xác định: D  (1;) . Vì 1 2 lim x x 1      nên đường thẳng x 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chú ý: Đồ thị hàm số 2 1 x y x   cùng với hai tiệm cận đứng x 1 và x  1 của nó được thể hiện trong Hình 3a. Đồ thị hàm số 2 1 y x   cùng với tiệm cận đứng x 1 của nó được thể hiện trong Hình 3b .
2. Đường tiệm cận ngang Đường thẳng y  m được gọi là một đurờng tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu lim ( ) x f x m   hoặc lim ( ) x f x m   . Đường thẳng y  m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f (x) được minh hoạ như Hình 5 . Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 1 x y x    . Lời giải Tập xác định: D   \{1}. Ta có 1 1 2 2 2 1 2 1 lim lim 2; lim lim 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x                       . Vậy đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chú ý: Đồ thị của hàm số 2 1 1 x y x    cùng với tiệm cận ngang y  2 và tiệm cận đứng x  1 của nó được thể hiện trong Hình 6 .
3. Đường tiệm cận xiên Đường thẳng y  ax  b,a  0, được gọi là đuoòng tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu lim[ ( ) ( )] 0 x f x ax b     hoặc lim[ ( ) ( )] 0 x f x ax b     . Đường thẳng y  ax  b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f (x) được minh hoạ như Hình 8 . Ví dụ 3. Chứng minh rằng đường thẳng y  x  2 là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 3 ( ) 2 1 y f x x x      . Lời giải Tập xác định: D   \{1}. Ta có 3 3 lim[ ( ) ( 2)] lim 0; lim[ ( ) ( 2)] lim 0 x x 1 x x 1 f x x f x x   x   x           . Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y  x  2 . Chú ý: Đồ thị hàm số 3 ( ) 2 1 y f x x x      cùng tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận xiên y  x  2 của nó được thể hiện trong Hình 9.
Nhận xét: a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số $a, b$ trong phương trình của đường tiệm cận xiên y  ax  b theo công thức như sau: ( ) lim , lim[ ( ) ] x x f x a b f x ax  x     hoặc ( ) lim , lim[ ( ) ] x x f x a b f x ax  x     . b) Khi a  0 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y  b . Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 3 1 ( ) 2 x x y f x x     . Lời giải Tập xác định: D   \{2}. Ta có: 2 2 ( ) 3 1 lim lim 1 x x 2 f x x x a  x  x x       ; 2 3 1 1 lim[ ( ) ] lim lim 1. x x 2 x 2 x x x b f x ax x   x  x                    Ta cũng có ( ) lim 1; lim[ ( ) ] 1 x x f x f x x  x      . Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y  x 1. Chú ý: Đồ thị hàm số 2 3 1 2 x x y x    cùng với tiệm cận đứng x  2 và tiệm cận xiên y  x 1 của nó được thể hiện trong Hình 10.