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198 198 F Í S I C A Capitulo En este capítulo aprenderemos ... M arco Teórico Movimiento armónico simple - I 1 • A identificar el MAS como un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. • A visualizar un cuerpo que describe un MAS. • A definir e identificar las principales magnitudes físicas que intervienen en un MAS. El MAS es uno de los temas más importantes en la Física, debido a que permite comprender algunos de los movimientos oscilatorios más complejos que se presentan en la naturaleza como movimientos sísmicos, ondas sonoras, movimientos microscópicos, etc. Conceptos previos Movimiento periódico: Es aquel movimiento que se repite en intervalos de tiempos iguales; por ejemplo el movimiento que realiza la Tierra alrededor del Sol. Movimiento oscilatorio: También se le denomina movimiento vibratorio o de vaivén. Es aquel movimiento en el que el móvil va y regresa sobre la misma trayectoria en torno a una posición fija de equilibrio; por ejemplo, el movimiento de un reloj de péndulo. Ciclo: Se denomina así a cada movimiento repetitivo. Periodo (T): Es aquel tiempo que demora un cuerpo en realizar un ciclo. Matemáticamente se define como: Donde la unidad de medida en el SI es el segundo (s). Frecuencia (f): Se le da este nombre al número de ciclos que acontece por unidad de tiempo. Matemáticamente se define como: Se deduce: Donde la unidad de medida en el SI es el Hertz (Hz) Movimiento Armónico Simple (MAS) Para que un cuerpo desarrolle un MAS tiene que cumplir con las siguientes condiciones: Z Oscilatorio Z Periódico Z Rectilíneo Z Tiene que existir una fuerza recuperadora que trate de establecer el equilibrio del cuerpo. El sistema que cumple con las características mencionadas es aquel compuesto por un bloque atado a un resorte, siempre y cuando no se consideren en el sistema fuerzas disipadoras (rozamiento). A este sistema también se le conoce como masa – resorte.
199 199 III Bimestre F Í S I C A Análisis del MAS Consideremos el sistema masa-resorte, cuya constante elástica del resorte es k: k m liso Posición de equilibrio (P.E.) Estiremos el bloque y soltémoslo, en este caso se procederá como se muestra a continuación. V=0 V=0 k k k k P.E. +A +A Vmáx Vmáx amax –A –A Z A es la amplitud y representa la máxima deforma- ción del resorte. Z La velocidad máxima se encuentra en la posición de equilibrio (P.E) Z La aceleración máxima se encuentra en los extremos. Ecuaciones del MAS Siguiendo con el análisis del sistema masa-resorte se planteara las ecuaciones del MAS y sus derivados para este sistema. k liso m x a v P.E. –A +A Z Posición Z Velocidad Z Aceleración Además se cumple: Z Velocidad máxima: Se genera en la posición de equilibrio. Matemáticamente su valor se calcula me- diante la siguiente ecuación: Z Aceleración máxima: Se genera en los extremos cuando la velocidad del móvil es igual a cero. Ma- temáticamente su valor se calcula aplicando la si- guiente ecuación: Z Posición inicial: Se calcula haciendo el tiempo igual a cero (t = 0) en la ecuación de posición. Z Frecuencia angular: su valor se calcula mediante la siguiente ecuación: También: Donde «f» es frecuencia Z Periodo: su valor se calcula mediante la siguiente ecuación: También
200 200 4To sec F Í S I C A Z Relación entre la rapidez y el valor de la posición en cualquier instante La rapidez (v) y el valor de la posición(x) en un MAS se relacionan en cualquier instante, mediante la siguiente ecuación: Z Energía mecánica: La energía mecánica en todo MAS se conserva, y su valor para este caso se calcula mediante la siguiente ecuación: E jercicios resueltos Donde las magnitudes y sus respectivas unidades en el SI son: x: Posición (m) v: rapidez (m/s) a: Módulo de la aceleración (m/s2 ) A: Amplitud (m) w: Frecuencia angular (rad/s) t: Tiempo (s) j: Fase inicial, es un ángulo que nos indica la posición x donde se empieza a medir el tiempo (rad). m: masa de bloque unido al resorte (kg) k : constante elástica del resorte (N/m) 1. La posición de una partícula con un MAS viene dada por la siguiente ecuación: x(t) = 5Sen pt + p 6 m Donde t se mide en segundos; calcula el periodo (en s) del movimiento. Resolución: Aplicando: T = 2p w Y de la ecuación: w = p rad/s ⇒ T = 2p w ∴T = 2 s 2. Determina el valor de la posición inicial (en m) de una partícula que desarrolla un MAS descrito por la siguiente ecuación de posición: x(t) = 46Sen 9pt + p 6 m Donde t se mide en segundos. Resolución: El valor de la posición inicial se calcula aplicando t = 0. X(0) = 46 Sen 9p(0) + p 6 m X(0) = 46 Sen p 6 m 1/2 X(0) = 23 m 3. Un carrito de 0,2 kg conectado a un resorte de cons- tante elástica igual a 20,0 N/m oscila sin fricción. Encuentra la máxima rapidez del carro si la ampli- tud del movimiento es de 3,00×10–2 m. Resolución: Aplicando la fórmula: VMáx = wA....(1) Luego determinando w y A Del dato: A = 3,00×10–2m Pero: w= K m ; para ello del problema reemplaza- mos los datos: w = 20 0,2 w = 10rad/s Luego reemplazando los valores de A y w en (1) VMáx = 10.3.10–2 ∴ VMáx = 3.10–1 m/s