Tiêu đề Chương 4_Bài 11_ _Lời giải_Phần 1.pdf ✅

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 11. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. NGUYÊN HÀM CỦA 1 HÀM SỐ Cho hàm số f x( ) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F x( ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x f x ¢( ) ( ) = với mọi x thuộc K . Chú ý. Trường hợp K a b =  ;  thì các đẳng thức F a f a ¢( ) ( ) = và F b f b ¢( ) ( ) = được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x a = và đạo hàm bên trái tại điểm x b = của hàm số F x( ), tức là ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) và lim ( ) x a x b F x F a F x F b f a f b x a x b ® ® + - - - = = - - Ví dụ 1. Cho hàm số 2 f x x x ( ) 2 = - . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên ¡ ? a) 3 2 ( ) 3 x F x x = - ; b) 3 2 ( ) 3 x G x x = + . Lời giải Ta có: 2 2 F x x x G x x x ¢ ¢ ( ) 2 , ( ) 2 = - = + . Vì F x f x ¢( ) ( ) = với mọi xΡ nên hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ¡ . Hàm số G x( ) không là nguyên hàm của f x( ) trên ¡ vì với x =1, ta cóG f ¢(1) 3 1 (1). = 1 - = Định nghĩa Giả sử hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K . Khi đó: a) Với mỗi hằng số C , hàm số F x C ( ) + cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên K ; b) Nếu hàm số G x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x F x C ( ) ( ) = + với mọi x K Î . Như vậy, nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( ) trên K đều có dạng F x C ( ) + (C là hằng số). Ta gọi F x C C ( ) ( ) + Ρ là họ các nguyên hàm của f x( ) trên K , kí hiệu bởi f x x ( )d ò . Chú ý: a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f x( ) trên K , ta chỉ cần tim một nguyên hàm F x( ) của f x( ) trên K và khi đó f x x F x C C ( )d ( ) , = + ò là hằng số.
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f x( ) liên tục trên khoảng K thì f x( ) có nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức f x x ( )d gọi là vi phân của nguyên hàm F x( ), kí hiệu là d ( ) F x . Vậy d ( ) ( )d ( )d F x F x x f x x = = ¢ . d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số 2 f x x ( ) = trên ¡ . Từ đó hãy tìm 2 x x d ò . Lời giải Vì 3 2 3 2 3 3 x x x ¢ æ ö ç ÷ = = è ø nên 3 ( ) 3 x F x = là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên ¡ . Do đó, 3 2 d 3 x x x C = + ò . 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0 k f x x k f x x k ( )d ( )d ( 0). = 1 ò ò Ví dụ 3. Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm: a) 2 3 d x x ò b) 3 2 d 2 - x x ò Lời giải Ta có: a) 3 2 2 3 3 d 3 d 3 3 x x x x x C x C = = × + = + ò ò . b) 3 3 3 3 1 2 2 3 2 2 2 3 2 x - = - = - × + = - + x dx x dx C x C ò ò . Nguyên hàm của một tổng é ù f x g x x f x x g x x   + = +   d d d     ò ò ò ë û
d d d é ù f x g x x f x x g x x   - = -       ò ò ò ë û Ví dụ 4. Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm: a)   2 x x dx + ò ; b)   3 2 4 3 x x dx - ò . Lời giải Ta có: a)   3 2 2 2 3 2 x x x x dx x dx xdx C + = + = + + ò ò ò . b)   3 2 3 2 4 3 4 3 d 4 d 3 d x x x x x x x x x C - = - = - + ò ò ò Ví dụ 5. Giải bài toán : Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v t t ( ) 5 3 ( m / s) = + , với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét? Lời giải Gọi S t t ( )(0 30) £ £ là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Ta có v t S t ( ) ( ) = ¢ . Do đó, S t( ) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v t( ). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được 3 2 S(t)= v(t)dt= (5+3t)dt=5 dt+3 tdt=5t+ t +C. 2 ò ò ò ò Theo giả thiết, S(0) 0 = nên C = 0 và ta được 3 2 ( ) 5 ( m) 2 S t t t = + . Máy bay rời đường băng khi t = 30 (giây) nên 3 2 (30) 30 5 30 1500( m) 2 S S = = × + × = . Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là S =1500 m . 3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Hàm số luỹ thừa y x ( ) a = Î a ¡ có đạo hàm với mọi x > 0 và   1 x x . a a a ¢ - = 1 ( 1) 1 x x dx C a a a a + = + 1 - + ò . 1 d ln | | x x C x = + ò . Ví dụ 6. Tìm: a) x x x d ( 0) > ò ; b) 3 1 dx x ò ; c) 2 3 2x dx x æ ö + ç ÷ è ø ò .
Lời giải a) 1 1 1 3 2 2 2 2 2 d d 1 3 3 1 2 x x x x x C x C x x C + = = + = + = + + ò ò . b) 3 1 3 2 3 2 1 1 1 d d 3 1 2 2 x x x x C x C C x x - + - - = = + = - + = - + - + ò ò . c) 2 2 2 3 3 3 1 2 2 d 2 d d 2 d 3 d 6 3 x x x x x x x x x x C x x x æ ö + = + = + = + + ç ÷ è ø ò ò ò ò ò . b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác cos d sin ; x x x C = + ò sin d cos x x x C = - + ò 2 1 d tan ; cos x x C x = + ò 2 1 d cot sin x x C x = - + ò Ví dụ 7. Tìm: a) (cos sin ) x x dx + ò b) 2 1 2cos cos x dx x æ ö ç ÷ - è ø ò Lời giải a) (cos sin ) cos sin sin cos x x dx xdx xdx x x C + = + = - + ò ò ò . b) 2 2 1 1 2cos 2 cos 2sin tan cos cos x dx xdx dx x x C x x æ ö ç ÷ - = - = - + è ø ò ò ò . c) Nguyên hàm của hàm số mũ x x e dx e C = + ò (0 1) ln x x a a dx C a a = + < 1 ò Ví dụ 8. Tìm: a) 2 xdx ò ; b) 1 d 3 x x ò ; c) 2 5  x x e dx - ò . Lời giải a) 2 2 ln 2 x xdx C = + ò . b) 1 1 1 1 3 3 3 3 ln 3 1 ln 3 x x x x dx dx C C æ ö ç ÷ æ ö è ø = = + = - + ç ÷ è ø ò ò .