Tiêu đề Chương 3. Các bài toán cực trị về đường tròn.doc ✅

Chương 3: Các bài toán cực trị về đường tròn 3.1 Giản lược kiến thức cơ bản 1. Trong một đường tròn: a. Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn. b. Trong hai dây không bằng nhau, dây nào lớn hơn thì có khoảng cách từ tâm tới dây đó nhỏ hơn và ngược lại. c. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. d. Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn. e. Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn. 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt: Cho hai đường tròn (O; R) và ;Or , kí hiệu .dOO Giả sử Rr a. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm .RrdRr b. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau .dRr c. Hai đường tròn tiếp xúc trong nhau .dRr d. Hai đường tròn không có điểm chung, ở ngoài nhau .dRr e. Hai đường tròn không có điểm chung, đựng nhau .dRr 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Ta có hệ thức: 2 222 2 2BC ABACAM Thật vậy, vẽ đường cao AH, ta có 222222 ;ABAHHBACAHCH Do đó 22222 2AHAHBACHCB 222222222222 2AMHMBMHMCMHMABC ABMBACAAC 3.2. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho đoạn thẳng ABa (độ dài không đổi cho trước). Xét tất cả các đường tròn đi qua hai điểm A, B. Hãy tìm đường tròn có bán kính R nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. Hướng dẫn Cách 1: Xét một đường tròn (O;R) đi qua A, B. Vẽ đường kính AC. Ta có 2.ABACR min. 22aa RR Dấu = xảy ra  C trùng B. Khi đó đường tròn có bán kính nhỏ nhất là đường tròn nhận AB là đường kính: . 2a R Cách 2: Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đoạn AB. Đặt OHx thì 2.BCx Ta có 2222224ACABBCaax min0 22aa ACaRRx Khi đó O là trung điểm AB. Bài 2: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn, = OMa (không đổi). Đường thẳng d bất kì đi qua M, cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B (A nằm giữa B và M). Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho độ dài MA là ngắn nhất và độ dài MB là lớn nhất. Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đó theo R và a.
Hướng dẫn Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đoạn AB, ta có .HAHB Xét .).(MAMBMHAHMHHB .MHAHMHAH 22 MHAH 222 MOOHAH Do đó 2222.MAMBMOOAaR Xét ba điểm A, M, O. Ta có AMMOAOaR minAMaR khi và chỉ khi A thuộc đoạn MO. Tức là A trùng với điểm P. Vì 22.MAMBaR (không đổi) suy ra MB lớn nhất  MA nhỏ nhất 22maxaRMBaRB aR    trùng với Q. Kết luận: Khi đường thẳng d đi qua M và O, điểm A trùng với P, điểm B trùng với Q, ta có AM có giá trị nhỏ nhất là ,aRMB có giá trị lớn nhất là .aR Bài 3: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định bên trong đường tròn, A khác O. Dây cung MN quay xung quanh điểm A. Xác định vị trí của dây MN sao cho MN có độ dài ngắn nhất, dài nhất. Hướng dẫn Gọi I là hình chiếu của điểm O trên dây MN. Ta có OIOA (không đổi) OI là khoảng cách từ tâm O đến dây MN. Ta có MN có độ dài ngắn nhất OI lớn nhất OIOA Khi đó MN vuông góc với OA. Vậy, khi dây MN vuông góc với OA thì độ dài dây MN là ngắn nhất. Xét đường kính PQ đi qua O, A. Ta có 2MNPQR (không đổi). Do đó MN lớn nhất bằng 2RMN trùng với đường kính PQ Vậy khi dây MN đi qua O và A thì độ dài MN lớn nhất và có giá trị bằng 2R. Bài 4: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định bên trong đường tròn, A khác O. Cho OAa . Một điểm M di động trên đường tròn (O; R). Xác định vị trí điểm M sao cho AM có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đó theo R và a. Hướng dẫn Vẽ đường kính PQ đi qua A, O theo thứ tự P, O, A, Q. Xét ba điểm O, A, M, ta có AMMOOARa (không đổi) Do đó maxAMRa ,,MOA thẳng hàng  M trùng P. Ta có AMOMOARa (không đổi) Do đó min AMRa ,,MOA thẳng hàng  M trùng Q. Bài 5: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một đường thẳng xy không cắt đường tròn. Trên đường tròn (O;R) lấy điểm bất kì A và trên đường thẳng xy lấy điểm bất kì B. Xác định vị trí các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. Tính giá trị
nhỏ nhất đó theo R và a là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng xy. Hướng dẫn Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng xy. Gọi K là giao điểm của OH với đường tròn (O;R). Ta có OHa Xét ba điểm A, B, O, ta có .OBABAOABOBOA Ta có OBOHa ABOHOKaR (không đổi). Do đó min ABaRA trùng với K và B trùng với H. Bài 6: Cho đoạn thẳng CDa cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng CD, kẻ các tia Cx và Dy cùng vuông góc với CD. Gọi O là trung điểm của đoạn CD. Một góc vuông có đỉnh tại O quay xung quanh O, hai cạnh góc vuông cắt Cx tại A, cắt Dy tại B. a) Chứng minh .ABACBD b) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. c) Xác định vị trí của A, B để diện tích hình thang ACDB là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. Hướng dẫn Gọi E là giao điểm của tia AO và tia BD. a) Ta có ..ACODEOgcg ,ACDEAOEO  Tam giác BAE cân tại B ABBE ABBDDEBDAC b) Gọi H là hình chiếu của O trên AB. Ta có .ACOAHOhg 2 a OHOC (không đổi)  AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD tại H c) Gọi S là diện tích hình thang vuông ACDB. Ta có .. . 222 ABCDACBa SADCD B Do đó S nhỏ nhất  AB nhỏ nhất. Ta có min//.ABCDaABaABCD Khi đó . 2 a ACBD Vậy 2 min. 2 a S Bài 7: Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') cắt nhau tại A và B sao cho ABa (cho trước). Vẽ đường kính AC của đường tròn (O;R), vẽ đường kính AD của đường tròn (O';R') a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng. Tính CD theo R, R', a b) Qua A vẽ đường kính bất kì sao cho nó cắt (O;R) tại M, cắt (O';R') tại N theo thứ tự M, A, N. Xác định vị trí của M, N để cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R, R' và a. Hướng dẫn a) Ta có đường nối tâm OO' là trung trực của đoạn thẳng AB, do đó OOAB tại K với .KAKB Tam giác ABC có OK là đường trung bình nên //OKBC , hay //'BCOO Tam giác ABD có KO' là đường trung bình nên '//OKBD , hay //'BDOO
Suy ra C, B, D thẳng hàng và AB vuông góc với CD. Tam giác vuông ABC có 222224BCACABRa 22 4RaBC Tương tự, tam giác vuông ABD có 224RBDa 2222 44CDCBBDRaRa b) Ta có tứ giác CDNM là hình thang vuông tại M và N, do đó MNCD (không đổi) min//.MNCDMNCD Khi đó 222244minRaRNaM Bài 8: Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định, sao cho . 2 R OI Một dây cung AB quay xung quanh điểm I. Vẽ đường kính CD đi qua O, I theo thứ tự C, O, I, D. a) Xác định vị trí điểm A để độ dài đoạn thẳng AI lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R. Xác định vị trí điểm B để độ dài đoạn thẳng BI nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R. b) Vẽ dây EF vuông góc với CD. Xác định vị trí của A, B để dây AB có độ dài ngắn nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R. Hướng dẫn a) Khi A trùng với C, đoạn AI có độ dài lớn nhất bằng 3 . 2 R Với lưu ý: 2 R IBBOOI nên IB có độ dài ngắn nhất khi B trùng với D và khi đó . 2 R IB b) Vẽ .OHAB AB ngắn nhất khi A trùng E , B trùng F. Bài 9: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M cố định ngoài đường tròn. Một đường thẳng d xoay quanh điểm M cắt đường tròn tại hai điểm C và D (theo thứ tự M, C, D). Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng các khoảng cách SMCMD có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn Gọi H là hình chiếu của điểm O trên CD. Ta có 2 MCMDMHHCMHHD MCMDMH   Ta có MHMO 2MCMDMO (không đổi) 2maxMCMDMO  đường thẳng d đi qua hai điểm M và O (lúc đó C trùng A và D trùng B). Bài 10: Cho đường tròn tâm O, bán kính R cố định. Các đường tròn (O 1 ;R 1 ), (O 2 ;R 2 ) thay đổi sao cho ba đường tròn (O;R), (O 1 ;R 1 ), (O 2 ;R 2 ) tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với đường thẳng d. Trong đó R là độ dài bé nhất trong các độ dài R, R 1 , R 2 . Gọi A, B, C lần lượt là các tiếp điểm của (O 1 ), (O), (O 2 ) với đường thẳng d. a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC theo R, R 1 , R 2 . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12PRR theo R. Hướng dẫn