Tiêu đề Chương 5_Bài 2&3_ _Lời giải_Toán 10_CD.pdf ✅

BÀI 2. HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n   ). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 2. Số các hoán vị Kí hiệu P n là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: ( 1)...2.1 P n n n = − . Quy ước: Tích 1.2...n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n n ! 1.2... = . Như vậy ! P n n = . II. CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1  k n . Kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp Trong trường hợp tổng quát, đối vối tập hợp A có n phần tử (n 1) , ta làm tương tự như trên để tạo ra một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó (1  k n) ) và số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trong tập hợp A là: n n n k ( −  − + 1 1 ) ( ) Kí hiệu k An là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k n) . Ta có: ( 1 1 ) ( ) k A n n n k n = −  − + . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên: a. Gồm 8 chữ số đôi một khác nhau? b. Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải a. Lập được 8P = 40320 số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau. b. Lập được 6 8 A = 20160 số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Câu 2. Trong chương trình ngoại khoá giáo dục truyền thống, 60 học sinh được trường tổ chức cho đi xem phim. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng. Mỗi hàng có 20 ghế. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên? b. Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai? c. Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba? Lời giải a. Có 20 A60 cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên. b. Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có 20 A40 cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai. c. Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có 20 A20 cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba. Câu 3. Bạn Việt chọn mật khẩu cho email của mình là một dãy gồm 8 kí tự đôi một khác nhau, trong đó có 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường và 5 kí tự tiếp theo là chữ số. Bạn Việt có bao nhiêu cách tạo ra mật khẩu? Lời giải Bạn Việt có 3 5 26 10 A A = 471744000 cách tạo ra mật khẩu.
Câu 4. Mỗi máy tính tham gia vào mạng phải có một địa chỉ duy nhất, gọi là địa chỉ IP, nhằm định danh máy tính đó trên Internet. Xét tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng 192.168 .abc. deg, trong đó a, d là các chữ số khác nhau được chọn ra từ các chữ số 1,2 , còn b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn ra từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 . Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? Lời giải Tập hợp A có số phần tử là: 2 2 6 6 2 1 1800    = A A (phần tử) Câu 5. Một nhóm 22 bạn đi chụp ảnh kỷ yếu. Nhóm muốn trong bức ảnh có 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau. Có bao nhiêu cách xếp vị trí chụp ảnh như vậy? Lời giải Có số cách xếp vị trí chụp ảnh để 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau là: 7 22 A  = 15 12893126400 (cách) BÀI 3. TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa: HĐ1: Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn Mạnh, Phong, Cường, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo thành một cặp đấu đôi nam. a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu. b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên? Ví dụ 1 Bạn Quân có 4 chiếu áo sơ mi khác nhau là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo. Giải Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là: {áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}. 2. Số các tổ hợp: Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần từ nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó. Ví dụ 2 Chứng minh ( ) ! C ! ! k n n k n k = − với 1  k n . Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ... 1 ...2.1 ! A 1 ... 1 ...2.1 ! k n n n n k n k n n n n k n k n k − − + − = − − + = = − − . Do đó ( ) A ! C ! ! ! k k n n n k k n k = = − . Quy ước: 0 0! 1; C 1 = = n . Với những quy ước trên, ta có công thức sau : Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1  k n . Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Kí hiệu C k n là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1  k n . Ta có A C ! k k n n k = . A C ! k k n n k = với 0   k n .
Ví dụ 3 Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam. a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ ? b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam? c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam? Giải a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có 3 C18 cách chọn. b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có 5 C20 cách chọn. c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: 3 5 18 20 C C. 816.15540 12651264 = = (cách chọn) 3. Tính chất của các số k Cn Hoạt động 4. Cho hai số tự nhiên n và k . a) So sánh k Cn và (0 ) n k C k n n −   ; b) So sánh 1 1 1 k k C C n n − − − + và (1 ) k C k n n   . Ta có hai đẳng thức sau: (0 ) k n k C C k n n n − =   và ( ) 1 1 1 1 k k k C C C k n n n n − − − + =   B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho? Lời giải Có 3 8 C = 56 tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho. Câu 2. Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần? Lời giải Có 2 10 C = 45 cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần. Câu 3. Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy? Lời giải Lớp đó có tổng cộng 16 18 34 + = (học sinh) Có 3 34 C = 5984 cách lập một tỗ trồng cây gồm các học sinh bất kì. Có 3 16 C = 560 cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nữ. Có 3 18 C = 816 cách lập một tổ trồng cây gồm toàn học sinh nam. Có 5984 560 816 4608 − − = cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Câu 4. Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa? Lời giải Tổng số bông hoa là: 50 60 110 + = (bông) Có 5 C110 cách chọn 5 bông hoa bất kì. Có 5 C50 cách chọn 5 bông hoa hồng. Có 5 C60 cách chọn 5 bông hoa cúc. Có 5 5 5 110 50 60 C C C − − =114811250 cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa. Câu 5. Tính tổng 12 13 14 C C C 15 15 16 + + Lời giải 12 13 14 15 15 16 C C C + + = 680
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Hoán vị 1. Phương pháp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1  ) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu n P là số hoán vị của n phần tử. Ta có công thức sau: ! P n n = 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hướng dẫn giải Một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là một hoán vị của năm chữ số đó. Vậy có tất cả 5! 120 = (số). Ví dụ 2: Người ta xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Hóa và 3 quyển sách Lý lên một giá sách theo từng môn. Hỏi có nao nhiêu cách sắp xếp? Hướng dẫn giải Có 3 môn học nên có 3! cách xếp sách theo môn. Trong đó có 5! cách xếp sách Toán, 4! cách xếp sách Hóa, và 3! cách xếp sách Lý. Vậy số cách xếp tất cả là: 3! 4! 5! 3! 103680.    = Ví dụ 3: Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp để cho học sinh nam và nữ xen kẽ nhau. Hướng dẫn giải TH 1: Xếp 5 bạn nam vào vị trí lẻ và 5 bạn nữ vào vị trí chẵn có: 5!5! TH 2: Xếp 5 bạn nam vào vị trí chẵn và 5 bạn nữ vào vị trí lẻ có: 5!5! Vậy có 5!5! 5!5! 28800 + = Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách dán 5 con tem khác nhau vào 5 phong bì khác nhau và mỗi phong bì một tem? Hướng dẫn giải Số cách dán 5 con tem vào 5 phong bì theo đề bài là số cách xếp có thứ tự 5 con tem vào 5 vị trí. Đó chính là số hoán vị của 5 phần tử. Do đó đáp số là 5 P. Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách xếp 5 nam và 3 nữ ngồi trên một băng ghế dài sao cho nam ngồi kề nhau và nữ ngồi kề nhau? Hướng dẫn giải • Xem 5 nam và 3 nữ lần lượt như 2 phần tử  và . • Số cách sắp xếp  và  vào 2 vị trí là: = 2 P 2 (cách). • Mỗi cách hoán vị 5 nam và 3 nữ cho nhau trong cùng một vị trí ta luôn thêm 5! 3!  cách xếp khác nhau. Vậy số cách xếp theo yêu cầu bài toán là: 2 5! 3! 1440.   = Dạng 2. Chỉnh hợp 1. Phương pháp