Tiêu đề Chuyên đề 5_Lời giải.docx ✅

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12- PHIÊN BẢN 2025-2026 1 CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN THỰC TẾ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG Giả sử y là một hàm số của x và ta viết ()yfx . Nếu x thay đổi từ 1x đến 2x , thì sự thay đổi của x là 21xxx và sự thay đổi tương ứng của y là 21.yfxfx Tỉ số 21 21 fxfxy xxx    được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên đoạn 12;xx . Giới hạn  21 21 0 21 limlim xxx fxfxy xxx    được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại điểm 1xx . Như vậy, đạo hàm ()fa là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng ()yfx đối với x tại điêm xa . Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế:  Nếu ()sst là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì ()vst biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi củ̉a độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: ()()()atvtst .  Nếu CCt là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t , thì ()Ct là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t .  Nếu ()PPt là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t , thì ()Pt biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t .  Nếu ()CCx là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời ()Cx của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên ()Cx xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ 1x (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là 2()224,54,9httt (theo Vật lí đọi cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu? Lời giải a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là ()24,59,8( m/s)vhtt . Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là (2)24,59,824,9( m/s)v .