Tiêu đề Chuyên đề 12_Bất đẳng thức và các bài toán cực trị_Lời giải.DOC ✅

1 CHUYÊN ĐỀ 12_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC CÂU TOÁN CỰC TRỊ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > (lớn hơn),  (nhỏ hơn),  (lớn hơn hoặc bằng),  (nhỏ hơn hoặc bằng). Ta có: 0ABAB 0ABAB  Trong bất đẳng thức AB (hoặc ,,ABABAB ),  A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức.  Các bất đẳng thức AB và CD gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức AB và EF gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.  Nếu ta có ABCD ta nói bất đẳng thức CD là hệ quả của bất đẳng thức AB .  Nếu ta có ABEF ta nói hai bất đẳng thức AB và EF là hai bất đẳng thức tương đương  AB (hoặc AB ) là bất đẳng thức ngặt: AB (hoặc AB ) là bất đẳng thức không ngặt  AB là AB hoặc AB  AB cũng là bất đẳng thức  Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: ABC II. TÍNH CHẤT  Tính chất 1: (tính chất bắc cầu) ab và bcac  Tính chất 2: abacbc Hệ quả: abcacb  Tính chất 3: ab và cdacbd  Tính chất 4:  neáu 0  neáu 0 acbcc ab acbcc      Tính chất 5: 0ab và 0cdacbd  Tính chất 6: 0ab , n nguyên dương nnab  Tính chất 7: 0ab , n nguyên dương nnab Hệ quả: ,0ab 22 ababab  Tính chất 8: 11 ,0  abab ab  Tính chất 9: 1a , m và n nguyên dương, mnmnaa ; 01a , m và n nguyên dương, mnmnaa . III. CHỨNG MINH BĐT Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào bất đẳng thức đúng đã biết. Ghi nhớ: a 1) 220;0aa . Dấu "  " xảy ra 0a
2 2) aaa . Dấu "=" xảy ra 0a Có hai cách chứng minh bất đẳng thức:  Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng.  Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức, cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp. Mỗi bài toán có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp. Phương pháp 1 (Vận dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức): Để chứng minh AB , ta cần chứng minh 0AB Phương pháp 2 (Phương pháp biến đổi tương đương): Để chứng minh AB , ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. Phương pháp giải 3: (Phương pháp làm trội) Để chứng minh AB nhiều khi ta phải chứng minh AC với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B . Từ đó ta có AB , hoặc ta chứng minh DB với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A : DA , từ đó ta có AB . Phương pháp giải 4: (Phương pháp chứng minh phản chứng ) Để chứng minh AB , ta giả sử AB , từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng. Phương pháp giải 5: (Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về phân số) Một số bài toán bất đẳng thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1. Với  ,  , 0abc . Chứng minh rằng: a) Nếu ab thì aac bbc    b) Nếu ab thì aac bbc    Hướng dẫn giải a) ab  acbc  abacabbc aacabcbac bbc    . b) Chứng minh tương tự. Bài toán 2. Với  ,  , 0xyz . Chứng minh rằng: a) 2 14 ()xyxy  ; b) 114 xyxy  ; c) 1119 xyzxyz  Hướng dẫn giải a) 222 ()0()44()4xyxyxyxyxyxy 2 14 ()xyxy  b) Từ a) ta có 24114 ()4xy xyxy xyxyxyxy    . c) 111111xyyzxzxyz xyzyxzyzx     9222xyyzxz yxzyzx    