Tiêu đề Viện Toán Học, Thử Thách Mùa Hè 2022 [Đáp Án].pdf ✅

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Thử thách mùa hè Chiều 16/7/2022 Thời gian làm bài: 180 phút. Bài 5. (5đ.) Cho các số nguyên tố p và q. a) Giả sử 2 xq = p y + 1, trong đó x, y là các số nguyên lớn hơn 1. Hỏi x có thể là hợp số hay không? b) Giả sử 2 uq = p v − 1, trong đó u là số nguyên tố và v là số nguyên lớn hơn 1. Xác định các giá trị có thể của p. Bài 6. (5đ.) Cho P (x) = x 2022 + a2021x 2021 + · · · + a1x + 1 là một đa thức với hệ số thực. a) Giả sử 2021a 2 2021 − 4044a2020 < 0. Chứng minh rằng đa thức P (x) không thể có 2022 nghiệm thực. b) Giả sử a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 2021 ≤ 4 2021 . Chứng minh rằng P (x) ≥ 0 với mọi số thực x. Bài 7. (5đ.) Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh CA và AB lần lượt tại E và F. Một điểm P di chuyển trên đoạn thẳng EF. Đường thẳng P B cắt CA tại M; đường thẳng M I cắt đường thẳng qua C và vuông góc AC tại N. Chứng minh rằng khi P di chuyển. thì đường thẳng qua N và vuông góc P C luôn đi qua một điểm cố định. Bài 8. (5đ.) Một Câu lạc bộ, bao gồm n thành viên, lên kế hoạch tổ chức một số buổi tập luyện thể thao, đảm bảo các yêu cầu sau: i) Mỗi thành viên tham gia tất cả các buổi tập; ii) Ở mỗi buổi tập, CLB chia làm 3 nhóm: nhóm Bơi lội, nhóm Xe đạp và nhóm Chạy bộ (mỗi thành viên tham gia một nhóm và mỗi nhóm gồm ít nhất một người); iii) Với hai thành viên bất kỳ của CLB, có thể tìm được ít nhất một buổi tập mà hai người không nằm trong cùng một nhóm. a) Giả sử n = 9. Biết rằng CLB đã tổ chức được một buổi tập và còn tổ chức thêm một buổi tập nữa. Hỏi có bao nhiêu cách chia nhóm cho buổi tập thứ hai? b) Giả sử n = 2022. Hỏi CLB cần phải tổ chức ít nhất bao nhiêu buổi tập? ————— HẾT ————— 1

b) Chứng minh rằng 2 ∈ S. Lời giải. a) Giả sử k ∈ S. Xét (a, b, c) = x, x, 1−x 2 2x với x ∈ (0; 1). Cho x tiến tới 0, khi đó vế trái của bất đẳng thức cần có tiến tới 1. Như vậy, để bất đẳng thức đúng với mọi bộ số dương có dạng như trên thì ta phải có 1 ≥ q 3 k+1. Điều này tương đương với k ≥ 2. b) Ta sẽ chỉ ra rằng 2 ∈ S. Đặt S = X cyc a √ a2 + ab + b 2 + 2 . Theo bất đẳng thức Holder, ta có S 2 · X cyc a(a 2 + ab + b 2 + 2)! ≥ (a + b + c) 3 . Thế nhưng, X cyc a(a 2 + ab + b 2 + 2) = X cyc a 3 + X cyc (a 2 b + ab2 ) + 2(a + b + c) = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + ab2 + b 2 c + bc2 + c 2a + ca2 + 2(a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b + c) 3 . Từ đó suy ra S 2 ≥ 1 và do đó S ≥ 1. Chứng minh hoàn tất. Nhận xét. Nhắc lại bất đẳng thức Holder: cho p, q là các số thực dương thỏa mãn 1 p + 1 q = 1. Khi đó, với mọi số thực dương x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn, ta có (x p 1 + x p 2 + · · · + x p n ) 1 p · (y q 1 + x q 2 + · · · + x q n ) 1 q ≥ x1y1 + · · · + xnyn. Ngoài ra, cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thay vì bất đẳng thức Holder. Bài 3. (5đ.) Cho một hình thang cân (nhưng không phải là hình chữ nhật) và kẻ một đường chéo của nó (như vậy nhận được hai tam giác). Trên biên của mỗi tam giác thu được có một con kiến bò dọc trên đó. Tốc độ của chúng là không đổi và bằng nhau. Hai con kiến cũng không thay đổi hướng bò khi di chuyển và hướng của chúng là ngược nhau trên đường chéo. Chứng minh rằng với mọi vị trí ban đầu của các con kiến, chúng sẽ gặp nhau tại một thời điểm nào đó. Lời giải. Không mất tổng quát, giả sử ABCD là hình thang cân với đáy lớn là AB, đáy nhỏ là CD và đường chéo được kẻ là AC. Ta cũng giả sử con kiến thứ nhất bò trên biên của ACD theo hướng A −→ C −→ D −→ A và con bọ thứ hai bò trên biên của ABC theo hướng A −→ B −→ C −→ A. 2