Tiêu đề Bài 22_ _Lời giải_Phần 1_Toán 10_KNTT.pdf ✅

BÀI 22. BA ĐƯỜNG CÔNIC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa elip: Cho hai điểm cố định và phân biệt 1 2 F F, . Đặt 1 2 F F c = > 2 0 . Cho số thực a c > . Tập hợp các điểm M sao cho 1 2 MF MF a + = 2 được gọi là đường elip ( ) E . Hai điểm 1 2 F F, được gọi là hai tiêu điểm và 1 2 F F c = 2 được gọi là tiêu cự của ( ) E . Phương trình chính tắc của elip ( ) E có dạng 2 2 2 2 + =1 x y a b với a b > > 0 . Elip ( ) E có hai tiêu điểm là 1 2 F c F c ( ;0), ( ;0) - và có tiêu cự là 2 , c với 2 2 c a b = - . 2. Định nghĩa hypebol: Cho hai điểm phân biệt cố định F1 và F2 . Đặt 1 2 F F c = 2 . Cho số thực dương a c < . Tập hợp các điểm M sao cho 1 2 MF MF a - = 2 được gọi là đường hypebol ( ) H . Hai điểm 1 2 F F, được gọi là hai tiêu điểm và 1 2 F F c = 2 được gọi là tiêu cự của ( ) H . Phương trình chính tắc của hypebol ( ) H có dạng 2 2 2 2 - =1 x y a b với a b, 0 > . Hypebol ( ) H có hai tiêu điểm là 1 2 F c F c ( ;0), ( ;0) - và có tiêu cự là 2 , c với 2 2 c a b = + . 3. Định nghĩa parabol: Cho một điểm F cố định và một đường thẳng D cố định không đi qua F . Tập hợp các điểm M cách đều F và D được gọi là đường parabol ( ) P . Điểm F được gọi là tiêu điểm, D được gọi là đường chuẩn của ( ) P . Khoảng cách từ F đến D được gọi là tham số tiêu của ( ) P . Phương trình chính tắc của parabol ( ) P có dạng 2 y px = 2 với p > 0 . Parabol ( ) P có tiêu điểm là ;0 2 æ ö ç ÷ è ø p F , phương trình đường chuẩn D là 2 = - p x . B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xác định các yếu tố của elip: 1. Phương pháp: Cho Elip có phương trình chính tắc:   2 2 2 2 : 1 x y E a b + = với 2 2 2 b a c = - . ● Tiêu điểm     1 2 F c F c - ;0 , ;0 . ● Tọa độ các đỉnh         1 2 1 2 A a A a B b B b - - ;0 , ;0 , 0; , 0; . ● Độ dài trục lớn 2a. ● Độ dài trục bé 2b. ● Tiêu cự 2c 2. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho elip có phương trình 2 2 1 36 9 + = x y .Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip Lời giải
Ta có: 2 2 2 2 36 1 36 9 9 ì = + = Þ í î = x y a b Mặt khác 2 2 2 c a b c = - = - = Þ = ± 36 9 27 27 . Vậy ta có hai tiêu điểm F1 - 27;0 và F2  27;0,có tiêu cự bằng 2 2 27 c = . Ví dụ 2: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:   2 2 : 1 4 1 x y E + = . Lời giải Từ phương trình của 2 2 c a b = - = 3 E, ta có a b = = 2, 1. Suy ra 2 2 c a b = - = 3 . Suy ra tọa độ các đỉnh là A A B B 1 2 1 2 - - 2;0 ; 2;0 ; 0; 1 ; 0;1        . Độ dài trục lớn 1 2 A A = 4 , độ dài trục bé 1 2 B B = 2 . Tiêu cự 1 2 F F c = = 2 2 3 , tiêu điểm là F F 1 2 - 3;0 ; 3;0   . Tâm sai của 2 2 c a b = - = 3 là 3 2 c e a = = . Ví dụ 3: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:  2 2 E x y :4 25 100 + = . Lời giải Ta có 2 2 2 2 4 25 100 1 25 4 x y x y + = Û + = suy ra a b = = 5; 2 nên 2 2 c a b = - = 21 . Do đó tọa độ các đỉnh là A A B B 1 2 1 2 - - 5;0 ; 5;0 ; 0; 2 ; 0;2        . Độ dài trục lớn 1 2 A A = 10 , độ dài trục bé 1 2 B B = 4 . Tiêu cự 1 2 F F c = = 2 2 21 , tiêu điểm là F F 1 2 - 21;0 ; 21;0    . Tâm sai của E là 21 5 c e a = = . Ví dụ 4: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip:   2 2 E x y : 4 9 1 + = . Lời giải Ta có 2 2 2 2 4 9 1 1 1 1 4 9 x y x y + = Û + = suy ra 1 1 ; 2 3 a b = = nên 2 2 5 6 c a b = - = . Do đó tọa độ các đỉnh là 1 2 1 2 1 1 1 1 ;0 ; ;0 ; 0; ; 0; 2 2 3 3 A A B B æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - è ø è ø è ø è ø . Độ dài trục lớn 1 2 A A = 1, độ dài trục bé 1 2 2 3 B B = .
Tiêu cự 1 2 2 5 2 6 F F c = = , tiêu điểm là 1 2 5 5 ;0 ; ;0 6 6 F F æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ - è ø è ø . Tâm sai của E là 5 3 c e a = = . Ví dụ 5: Tìm tâm sai của Elíp biết: a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 600 . b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600 . c) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng hai lần tiêu cự: Lời giải a) Từ giả thiết, ta có: t an30 . tan 30 b b c c ° = Û = ° Suy ra: c e a = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 30 .tan 30 tan 30 1 c c c e a b c c c Û = = = = = ° + °+ °+ 3 cos30 2 Û = ° = e b) Từ giả thiết, ta có cot 30 .cot 30 b b c c ° = Û = ° Suy ra: c e a = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 30 .cot 30 cot 30 1 c c c e a b c c c Û = = = = = ° + °+ °+ 1 sin 30 2 Û = ° = e c) Từ giả thiết, ta có: 2 2 AB c =4 2 2 2 2 2 Û + = Û + = a b c a b c 4 16 2 2 2 2 2 2 15 16 2 c Û + + = Û = c b b c b . Suy ra: c e a = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 17 2 c c c e a b c c c Û = = = = + + 34 2 Û =e F2 B1 B2 O c b b B2 O A 2 a
Ví dụ 6. Cho elip 2 2 ( ) : 1 25 9 + = x y E . a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm, tiêu cự của (E). b) Cho điểm M bất kì thuộc ( ) E . Tính MF MF 1 2 + . c) Cho điềm M thuộc ( ) E sao cho M nhìn hai tiêu điềm dưới một góc vuông. Tính đoạn OM, trong đó O là gốc toạ độ, từ đó hãy tìm toạ độ điểm M . Lời giải a) Trong phương trình chính tắc của ( ) E ta có 2 2 2 2 2 2 a b a b c a b = = Þ = = = - = - = 25, 9 5, 3, 5 3 4. Vậy ( ) E có hai tiêu điểm là 1 2 F c F c ( ;0) ( 4;0), ( ;0) (4;0) - = - = , có tiêu cự là 2 8 c = b) Vì điểm M thuộc ( ) E nên theo định nghĩa của đường elip ta có 1 2 MF MF a + = = × = 2 2 5 10. c) Gọi M x y  0 0 ;  . Do M thuộc ( ) E nên ta có 2 2 0 0 1 25 9 + = x y . Theo giả thiết ta có 1 2 90° F MF = , kết hợp với O là trung điểm của F F1 2 nên ta suy ra 1 2 4 2 = = = F F OM c Điều này tương đương với 2 2 2 2 2 0 0 0 0 x y y x + = = Û = - 4 16 16 . (2) Thay (2) vào (1) ta được:   2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 16 175 5 7 1 9 25 16 225 . 25 9 16 4 - + = Û + - = Û = Û = ± x x x x x x Thay 0 x vào (2) ta được 2 2 0 0 0 175 81 9 16 16 . 16 16 4 y x y = - = - = Û = ± Vậy OM = 4 và có bốn điểm M thoả mãn đề bài, các điểm này có toạ độ là 1 2 3 4 5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9 ; , ; , ; , ; . 4 4 4 4 4 4 4 4 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - - - è ø è ø è ø è ø Dạng 2 Lập phương trình chính tắc của elip 1. Phương pháp: Phương trình chính tắc của Elip có dạng:   2 2 2 2 : 1 x y E a b + = với 2 2 2 b a c = - ; ... 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điềm A(5;0) và có một tiêu điềm là F2(3;0) Lời giải Ta có:Phương trình elip có dạng 2 2 2 2 : 1 + = x y a b (a>b>0) Do elip đi qua A5;0 nên: 2 2 2 25 0 + = Þ = 1 25 a a b