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A.P.U. “EXITUS” Ciclo 2014 Piura : Calle Arequipa #300 - Telf. 331669/323644 www.academiaexitus.edu.pe Sullana : Calle Leoncio Prado #226 Telf. 501094 [email protected] 1 Piura : Calle Arequipa #300 - Telf. 331669/323644 www.academiaexitus.edu.pe Sullana : Calle Leoncio Prado #226 Telf. 501094 [email protected] GEOMETRÍA MÓDULO II
A.P.U. “EXITUS” Ciclo 2014 Piura : Calle Arequipa #300 - Telf. 331669/323644 www.academiaexitus.edu.pe Sullana : Calle Leoncio Prado #226 Telf. 501094 [email protected] 2 A B H C b c a  m h A B H b C c a  m h RELACIONES MÉTRICAS Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos es necesario tener el concepto de Proyección Ortogonal. 1. PROYECCIÓN ORTOGONAL * La Proyección Ortogonal de un punto sobre un plano es el pié de la perpendicular que va del punto al plano. En la figura siguiente N es la proyección de A sobre el plano P. * La Proyección Ortogonal de un punto sobre una recta es el pié de la perpendicular que va del punto a la recta. Así, en la figura siguiente N es la proyección de A sobre la recta r. Como esta perpendicular es única, entonces la proyección es única. * La Proyección Ortogonal de un segmento sobre una recta es un segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos del segmento dado sobre la recta. NP : Proyección de AB sobre la recta L En general, la proyección de un segmento es otro segmento. * Observación: En cualquier triángulo ABC, la altura AD determina sobre el lado BC dos segmentos: DB y DC, que son las proyecciones respectivas de los lados AB y AC sobre BC. 2. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Vamos a descubrir ciertas expresiones algébricas que nos relacionen distintas líneas del triángulo rectángulo. a2 = n . b c 2 = m . b h2 = m . n a . c = b . h a2 + c2 = b2 3. TEOREMAS FUNDAMENTALES RELACIONES METRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 3.1. TEOREMA DE EUCLIDES Primer Teorema de Euclides   90o 2 2 2 a b c b m    2. . Segundo Teorema de Euclides   90o 2 2 2 a b c b m    2. . A N r C   a c m n b A B  h  A B C D D B C A DC : proy. BC AC BD : proy. BC AB A B A A B B N P N P N P L Donde: *a y c: Catetos. *b: Hipotenusa. *H: Altura relativa a la hipotenusa. *m y n: Proyección de “a” y “c” sobre la hipotenusa. A N P

A.P.U. “EXITUS” Ciclo 2014 Piura : Calle Arequipa #300 - Telf. 331669/323644 www.academiaexitus.edu.pe Sullana : Calle Leoncio Prado #226 Telf. 501094 [email protected] 4 I  A B C D E F G ... H .   Q R S xo yo P POLÍGONOS DEFINICION Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos coplanares, tal que el extremo del primero coincida con el extremo del último; ningún par de segmentos se intercepten, excepto en sus extremos, y dos segmentos consecutivos no sean colineales. ELEMENTOS: Vértices : A , B , C , ... Lados : AB , BC , CD , ... m  internos :  ,  , ... m  externos : x, y,... Diagonales : AC , AD , AE , ... Diagonales medias: PQ , PR , PS , ... POLIGONO CONVEXO Cuando tiene todos sus ángulos internos convexos, es decir mayores que 0o y menores que 180o. CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS CONVEXOS 1. Polígono Equiángulo: Cuando tiene todos sus ángulos internos congruentes. 108o 108o 108o 108o 108o 120o 120o 120o 120o 120o 120o 2. Polígono Equilátero: Cuando tienen todos sus lados congruentes. 3. Polígono Regular: Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados congruentes. 108o 108o 108o 108o 108o 120o 120o 120o 120o 120o 120o POLIGONO NO CONVEXO Cuando tiene uno o más ángulos internos no convexos, es decir mayores que 180o y menores que 360o. DENOMINACION DE LOS POLIGONOS Triángulo..................................3 lados Cuadrilátero.............................4 lados Pentágono............................... 5 lados Hexágono..................................6 lados Heptágono.................................7 lados Octógono...................................8 lados Nonágono o Eneágono............9 lados Decágono...............................10 lados Endecágono...........................11 lados Dodecágono..........................12 lados Pentadecágono.....................15 lados Icoságono...............................20 lados Eneágono.................................n lados PROPIEDADES PARA TODO POLIGONO CONVEXO Si “ n ” es el número de lados de un polígono convexo se cumple que: 1. Suma de la medida de sus ángulos internos: 180 (  2) Smi n  2. Suma de las medidas de sus ángulos externos:  Sme  360 3. Diagonales trazadas desde un solo vértice: ( 3) D1  n 