Tiêu đề Chương 4_Bài 1&2_ _Toán 12_CD_Đề bài.pdf ✅

CHƯƠNG IV. NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN BÀI 1: NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ¡ , ta có định nghĩa sau: Cho hàm số f x( ) xác định trên K . Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x f x ¢( ) ( ) = với mọi x thuộc K . Ví dụ 1. Hãy giải thích vì sao ta có các kết luận sau: a) Hàm số 5 ( ) 5 x F x = là nguyên hàm của hàm số 4 f x x ( ) = trên ¡ ; b) Hàm số F x x ( ) sin = là nguyên hàm của hàm số f x x ( ) cos = trên ¡ . Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ¡ . Giả sử hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K . Khi đó: a) Với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C ( ) ( ) = + cũng là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K . b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H x( ) của hàm số f x( ) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H x F x C ( ) ( ) = + với mọi x thuộc K . Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số 4 f x x ( ) 5 = trên ¡ . Ta có: Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K được kí hiệu là f x x ( )d . ò Nhận xét: - Ta có: F x x F x C ¢( )d ( ) . = + ò - Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K đều có dạng F x C ( ) + với C là một hằng số. Vì vậy f x x F x C ( )d ( ) . = + ò - Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Chú ý: Biểu thức f x x ( )d gọi là vi phân của nguyên hàm F x( ), kí hiệu là d ( ) F x . Vậy d ( ) ( )d ( )d F x F x x f x x = = ¢ Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng: a) k dx=kx+C ò với k là hằng số thực; b) 2 d 2 k kx x x C = + ò với k là hằng số thực khác không. Lời giải Nhận xét: 0 dx C= ò và dx x C = + ò . II. TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ¡ . Tính chất 1: k f x x k f x x ( )d ( )d = ò ò với k là hằng số khác 0 .
Ví dụ 4. Cho n là số nguyên dương. a) Chứng tỏ rằng 1 d 1 n n x x x C n + = + + ò . b) Cho k là hằng số thực khác không. Tính dn kx x ò . Tính chất 2 é ù f x g x x f x x g x x   + = +   d d d     ò ò ò ë û . é ù f x g x x f x x g x x   - = -   d d d     ò ò ò ë û . Ví dụ 5. Tìm (2 5)d x x + ò . Ví dụ 6. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công thức v t t ( ) 9,8 19,6( m / s) = - + . a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t . b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất? B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Hàm số 3 F x x ( ) 5 = + là nguyên hàm của hàm số: A. 2 f x x ( ) 3 = . B. 4 ( ) 5 4 x f x x C = + + . C. 4 ( ) 5 4 x f x x = + . D. 2 f x x x ( ) 3 5 = + . 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 f x x x ( ) 3 = + ; b) 2 f x x x ( ) 9 2 7 = - + ; c)   2 f x x x x ( ) (4 3) 3 d = - + ò . 3. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số 5 f x x x ( ) 6 2 3 = + - , biết F( 1) 5 - = - . 4. Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h t t ¢( ) 1,5 5 = + , trong đó h t( )(cm) là chiều cao của cây khi kết thúc t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Cây con khi được trồng cao 12 cm . a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm. b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét? 5. Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổii lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số   3 2 B t t t t ¢ = - + 20 300 1000 , trong đó t tính bằng giờ (0 15), £ £t B t ¢  tính bằng khách/giờ. (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội. a) Viết công thức của hàm số B t( ) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 15 £ £t . b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội? c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu? d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
6. Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi m t  là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi M t( ) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M t m t   =  . Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số m t t ( ) 800 2 , = - trong đó t tính theo ngày (0 400), ( ) £ £t m t tính theo người (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Đơn giá cho một ngày công lao động là 400000 đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
BÀI 2. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LUȲ THỪA 1. Hàm số luỹ thừa Cho số thực a . Hàm số y xa = được gọi là hàm số luỹ thừa. Tập xác định của hàm số luỹ thừa y xa = tuỳ thuộ̣c vào giá trị của a . Cụ thể như sau: - Với a nguyên dương, tập xác định là ¡ ; - Với a nguyên âm hoặc bằng 0 , tập xác định là ¡ \{0}; - Với a không nguyên, tập xác định là (0; ) +¥ . Ta thừa nhận định lí sau: Hàm số luỹ thừa y x ( ) a = Î a ¡ có đạo hàm với mọi x > 0 và   1 x x a a a ¢ - = . 2. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Với a 1 -1, ta có: 1 d 1 x x x C a a a + = + + ò . Ví dụ 1. Tìm: a) 4 x x d ò ; b) 3 x x d ò . Ví dụ 2. Tìm: a) 2 1 dx x ò ; b) 1 2 x x d ò ; c) 1 dx x ò . II. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1 f x( ) x = 1 d ln x x C x = + ò Ví dụ 3. Tìm 3 dx x ò . III. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin d cos x x x C = - + ò . 2 1 d cot sin x x C x = - + ò . cos d sin x x x C = + ò 2 1 d tan cos x x C x = + ò . Ví dụ 4. Tìm: a) 3cos d x x ò b) (sin cos ) d x x x + ò . Ví dụ 5. Tìm: a) 2 2 1 1 d sin cos x x x æ ö ç ÷ - è ø ò b)   2 1 tan d + x x ò . Ví dụ 6. Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1 , có vận tốc tức thời cho bởi v t t ( ) 4cos = , trong đó t tính bằng giây và v t( ) tính bằng centimét/giây.