Tiêu đề Pembahasan SMP Matematika - Hardiknas Offline 2024.pdf ✅

Page 1 of 14 BIDANG : MATEMATIKA SMP OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS OFFLINE 1. (Operasi bilangan bulat, rasional, akar, serta bilangan berpangkat dan sifat- sifatnya.) Hasil dari √14 + 6√5 + √56 − 24√5 + √9 + 4√5 adalah .... a. √79 − 14√5 b. 7 c. 4√5 − 1 d. 11 Jawaban: D Pembahasan √14 + 6√5 + √56 − 24√5 + √9 + 4√5 = √9 + 5 + 2√9√5 + √36 + 20 − 2 ⋅ √36 ⋅ √4√5 + √5 + 4 + 2 ⋅ √4√5 = √9 + √5 + √36 − √20 + √5 + √4 = 3 + √5 + 6 − 2√5 + √5 + 2 = 11. (D) 2. (Operasi bilangan bulat, rasional, akar, serta bilangan berpangkat dan sifat- sifatnya.) Hasil dari 4 1122+8 749+135 2 2244+15 adalah .... a. 9 1024 b. 15 16 c. 9 d. 15 Jawaban: C Pembahasan 4 1122 + 8 749 + 135 2 2244 + 15 = (2 2 ) 1122 + (2 3 ) 749 + 135 2 2244 + 15 = 2 2244 + 2 2247 + 135 2 2244 + 15 = 2 2244(1 + 2 3 ) + 15 ⋅ 9 2 2244 + 15 = 9 ⋅ (2 2244 + 15) 2 2244 + 15 = 9. (C)
Page 2 of 14 BIDANG : MATEMATIKA SMP OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA 3. (FPB dan KPK) Misalkan Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan (n 2 + 12n + 5) dengan (n − 13) untuk suatu bilangan bulat n adalah dn. Nilai terbesar yang mungkin untuk dn adalah.... a. 320 b. 330 c. 1010 d. 1012 Jawaban: B Pembahasan n 2 + 12n + 5 = n 2 − 13n + 25n − 325 + 330 = n(n − 13) + 25(n − 13) + 330. Sehingga dn = FPB(n 2 + 12n + 5, n − 13) = FPB(330, n − 13). Haruslah dn|330. Dapat dipilih n = 343 agar dn terbesar, yaitu 330. (B) 4. (Basis Bilangan) Misalkan b(n) adalah banyaknya digit 1 pada representasi biner dari bilangan desimal n. Sebagai contoh b(4) = 1 karena 4 = 1002. Nilai terkecil n agar b(b(n)) > 2 adalah.... a. 127 b. 128 c. 63 d. 64 Jawaban: A Pembahasan Agar n terkecil, haruslah b(b(n)) = 3. Nilai terkecil b(n) = 1112 = 2 2 + 2 + 1 = 7. Nilai terkecil dari n adalah 11111112 = 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 1 = 127. (A) 5. (Sisa pembagian) Sisa dari 10002024 dibagi 24 adalah .... a. 1 b. 8 c. 12 d. 16 Jawaban: D Pembahasan Perhatikan bahwa 24 = 8 × 3. Jelas bahwa 1000 habis dibagi 8. Sehingga 10002024 habis dibagi 8. Misalkan 10002024 = 8k. Lalu 1000 = 3 ⋅ 333 + 1 ≡ 1 mod 3 ⇒ 10002024 ≡ 1 2024 ≡ 1 mod 3. 8k ≡ 1 mod 3 ⇒ 8k ≡ 16 mod 3. Didapat k ≡ 2 mod 3. Misalkan k = 3n + 2 ⇒ 10002024 = 8(3n + 2) = 24n + 16. Jadi, sisanya 16. (D)