Tiêu đề Chương 8_Bài 2_ _Lời giải_Phần 1_Toán 11_CD.docx ✅

BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng ()P nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a trong mặt phẳng ()P , kí hiệu ()dP hoặc ()Pd . II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Ta thừa nhận định lý sau: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Ví dụ 1: Cho hình chóp .SABC có ,.SAABSAAC Chứng minh rằng SAABC và SABC Lời giải (Hình 13 ) Ta có AB và AC là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng ABC và ,SAABSAAC . Suy ra SAABC . Mà BCABC nên SABC . Luyện tập 1. Cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình thoi, SAABCD . Chứng minh rằng BDSAC . Lời giải
Vì DDSAABCSAB Mà DABC là hình thoi DACB . Xét mpSAC có SAACA , D, DSABACB DBSAC III. TÍNH CHẤT Tính chất 1 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ví dụ 2: Cho mặt phẳng P và đường thẳng a cắt P tại O sao cho aP . Giả sử b là đường thẳng đi qua điểm O và ba . Chứng minh rằng bP . Lời giải Ta lấy điểm M trong mặt phẳng P , M khác O (Hình 15 ). Nếu Mb thì bP . Xét Mb . Gọi c là đường thẳng đi qua O , M và Q là mặt phẳng đi qua ,bc . Do ab , ac nên aQ . Qua điểm O có hai mặt phẳng P và Q cùng vuông góc với đường thẳng a , suy ra hai mặt phẳng đó trùng nhau theo Tính chất 1. Vậy bP . Luyện tập 2. Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi lên hình ảnh hai đường thẳng d và a . Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d .
Lời giải Vì sàn nhà là một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d . Mà đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đó nên đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng a . Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB cố định. Mặt phẳng P được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu P đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và PAB . Chứng minh rằng nếu điểm M trong không gian thỏa mãn MAMB thì MP . Lời giải (Hình 16 ) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Nếu M trùng O thì MP . Nếu M khác O thì tam giác MAB cân tại ,M suy ra OMAB . Theo Ví dụ 2, ta có OMP , suy ra M thuộc P . Tính chất 2 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Ví dụ 4. Cho mặt phẳng P và ba điểm ,,ABC thoả mãn ,PABPBC . Chứng minh rằng PAC . Lời giải Vì hai đường thẳng , BABC cùng đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng P nên hai đường thẳng này trùng nhau. Suy ra ,,ABC là ba điểm thẳng hàng và PAC . Luyện tập 3. Cho mặt phẳng P và đường thẳng a cắt nhau tại điểm , aOP . Giả sử điểm M thoả mãn OMP . Chứng minh rằng Ma . Lời giải
Vì chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Nếu  ,    aPOMPMa . IV. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tính chất 3  Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Ví dụ 5: Cho hình chóp .DSABC có DSAABC , đáy DABC là hình bình hành có AC cắt DB tại O . Gọi M là trung điểm của SC (Hình 20). Chứng minh rằng DOMABC . Lời giải Vì DABC là hình bình hành nên OAOC . Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC nên //OMSA . Mà DSAABC nên DOMABC . Luyện tập 4. Cho đường thẳng d và mặt phẳng P cắt nhau tại điểm O . Lấy các điểm ,AB thuộc d và khác ; các điểm ,AB thuộc P thoả mãn AA,PBBP . Chứng minh rằng AAOA BBOB    . Lời giải Theo đề bài ta có AA,PBBP nên theo tính chất 3 ta có AA//BB . Xét tam giác AOA có //AABB , theo hệ quả của định lý Talet ta có: AAOA BBOB    .