Tiêu đề Bài 2&3_Tọa độ vectơ và các phép toán vectơ trong không gian_Lời giải_Phần 1_Toán 12_CTST.docx ✅

BÀI 2: TOẠ ĐỘ CỦA VECTO TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, cho ba trục ,,OxOyOz đôi một vuông góc. Gọi ,,ijk→→→ lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục ,,OxOyOz . Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọ̣ độ Oxyz . Nhận xét: a) Điểm O được gọi là gốc tọa độ. Các trục ,,OxOyOz được gọi là các trục tọa độ. Các mặt phẳng ,,OxyOyzOzx đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặtphẳng toạ dộ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . b) Vì ,,ijk→→→ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có 222 1 và 0.ijkijjkki→→→→→→→→→ Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có ,,OAOBOC đôi một vuông góc và có độ dài bằng 1 . Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là O , các điểm ,,ABC lần lượt nằm trên các tia ,,OxOyOz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ. Lời giải Với O là gốc tọa độ, ta vẽ được các trục ,,OxOyOz như Hình 3. Ba vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là ,,iOAjOBkOC→→→→→→ . II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ 1. Tọa độ của điểm Ta có định nghĩa sau:
Trong không gian Oxyz , cho điểm M . Nếu OMxiyjzk→→→→ thì ta gọi bộ ba số ;;xyz là tọa độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz và viết ;;Mxyz hoă̆c ;;Mxyz ; x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M . Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật OABCOABC có cạnh 4,6,3OAOCOO . Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc tọạ độ O ; các điểm ,,ACO lần lượt nằm trên các tia ,,OxOyOz . Xác định toạ độ các điểm ,,ABB . Lời giải Ta có: 400OAijk→→→→ , suy ra 4;0;0A ; 460, suy ra 4;6;0;463, suy ra 4;6;3OBOAOCijkBOBOAOCOOijkB→→→→→→→→→→→→→ 2. Toạ độ của vectơ Ta có định nghĩa sau: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a→ . Nếu 123aaiajak→→→→ thì ta gọi bộ ba số 123;;aaa là toạ độ của vectơ a→ đối với hệ tọa độ Oxyz và viết 123;;aaaa→ hoặc 123;;aaaa→ . Nhận xét: Trong không gian Oxyz , ta có: Toạ độ của điểm M là tọa độ của vectơ OM→ , tức là ;;;;.MxyzOMxyz→ Điều kiện để hai vectơ bằng nhau: Cho ;;,;;axyzbxyz→→ . Khi đó: xx abyy zz         → →
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có đinh A trùng với gốc O , các vectơ ,,ABADAA→→→ theo thứ tự cùng hướng với ,,ijk→→→ và có 8,6ABAD , 4AA . Tìm toạ độ các vectơ ,,ABACAC→→→ và AM→ với M là trung điểm của cạnh CD . Lời giải Để tìm toạ độ của vectơ AB→ , ta cần biếu diễn AB→ theo ba vecto ,,ijk→→→ . Do AB→ cùng hướng với i→ và 88ABABi→→ nên 8ABi→→ hay 800ABijk→→→→ . Tương tự, ta cũng có: 060,004ADijkAAijk→→→→→→→→ . Trong hình bình hành ABCD , ta có: 860ACABADijk→→→→→→ . Trong hình bình hành AACC , ta có: 864ACACAAijk→→→→→→ Suy ra 8;0;0;8;6;0;8;6;4ABACAC→→→ . Vì 11186464464 222AMACADACADAAijkjkijk→→→→→→→→→→→→→→ nên 4;6;4AM→ . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Trong không gian Oxyz , biết: a) 573, 24aijkbik→→→→→→→ . Tìm toạ độ các vecto ,ab→→ . b) 43,85OMijkONij→→→→→→→ . Tìm toạ độ các điểm ,MN . Lời giải a) 5735;7;3, 242;0;4aijkbik→→→→→→→ b) 434;1;34;1;3OMijkM→→→→ ; 858;5;08;5;0ONijN→→→ 2. Trong không gian Oxyz , biết: a) 2;5;7,4;0;1ab→→ . Tính ,ab→→ theo các vecto ,,ijk→→→ . b) 7;2;1,0;5;0AB . Tính ,OAOB→→ theo các vecto ,,ijk→→→ . Lời giải a) 2;5;7257,4;0;14aijkbik→→→→→→→
b) 7;2;172, 0;5;05OAijkOAj→→→→→→ 3. Cho tứ diện .SABC có ABC là tam giác vuông tại ,3,2,BBCBASA vuông góc với mặt phẳng ABC và có độ dài bằng 2 (Hình 13). a) Xác định một hệ toạ độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các điểm , , , .ABCS Lời giải a) Các vecto đơn vị trên ba trục ,,OxOyOz lần lượt là ;;ijk→→→ với độ dài ;;ijk→→→ lần lượt bằng 111 ; ; 322BCBASA b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên 0;0;0B . Vì j→ và BA→ cùng hướng và 2BA nên 2BAj→→ . Suy ra 0;2;0A . Vì i→ và BC→ cùng hướng và 3BC nên 3BCi→→ . Suy ra 3;0;0C . Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz . Ta có 2BEAS . Vì k→ và BE→ cùng hướng và 2BE nên 2BEk→→ . Theo quy tắc hình bình hành ta có 22BSBABEjk→→→→→ . Suy ra 0;2;2S . 4. Cho hình chóp .SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy vẽ các vecto đơn vị trên các trục ,,OxOyOz và tìm toạ độ các điểm ,,,ABCS .