Tiêu đề Chuyên đề 11. CHỨNG MINH MỘT ĐIỂM DI ĐỘNG TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN HOẶC MỘT ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH.doc ✅

CHƯƠNGChuyên đề 11. CHỨNG MINH MỘT ĐIỂM DI ĐỘNG TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN HOẶC MỘT ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH A. Đặt vấn đề Các yếu tố trong một hình thường liên quan chặt chẽ với nhau. Khi một điểm nào đó của hình di động khỏi vị trí ban đầu thì những yếu tố của hình sẽ biến đổi, kéo theo một điểm khác cũng di động theo. Việc xác định xem một điểm di động trên đường nào là một phần của bài toán quỹ tích sẽ học ở chương sau. Trong chuyên đề này ta chỉ xét phần đầu của bài toán quỹ tích, tức là xét xem một điểm có tính chất nào đó thì nó chuyển động trên đường nào? Trong chương đường tròn ta quan tâm tới hai đường cơ bản là đường tròn và đường thẳng. 1. Muốn chứng minh một điểm M di động trên một đường tròn ta phải làm hai việc: - Xác định một điểm cố định trong hình - Chứng minh điểm M cách điểm cố định này một khoảng không đổi. 2. Muốn chứng minh một điểm M di động trên một đường thẳng ta có thể: - Chứng minh điểm M cách đều hai đầu của một đoạn thẳng cho trước Khi đó điểm M sẽ di động trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy - Chứng minh điểm M cách đều hai cạnh của một góc cho trước Khi đó điểm M sẽ di động trên tia phân giác của góc ấy. - Chứng minh điểm M cách đều một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và cách đường thẳng ấy một khoảng cho trước. Khi đó điểm M sẽ di động trên một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và cách đường thẳng ấy một khoảng cho trước. Ngoài ra, còn có thể vận dụng tính chất: qua một điểm cho trước có thể vẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc (hoặc song song) với một đường thẳng cho trước. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn ;37Ocm , dây 70ABcm . Khi dây AB di động trong đường tròn thì trung điểm M của nó di động trên đường nào? Giải  Tìm cách giải Trong hình đã có một điểm O cố định. Ta chỉ cần xác định xem điểm M cách điểm O một khoảng là bao nhiêu?  Trình bày lời giải Ta có 70:235MAMBcm Suy ra OMAB (định lí đường kính đi qua trung điểm của một dây) Xét AOM vuông tại M ta có: 222223735144OMOAAM12OMcm Vậy điểm M di động trên đường tròn ;12Ocm Ví dụ 2. Cho đường tròn ;OR và một dây AB cố định. Lấy điểm M di động trên đường tròn. Vẽ hình bình hành ABMN. Hỏi điểm N di động trên đường nào? Giải Vẽ hình bình hành ABOK Vì A, B, O cố định nên K cố định. Ta có //OKMN (vì cùng song song với AB) MN=OK (vì cùng bằng AB) Vậy tứ giác MNKO là hình bình hành. Suy ra KNOMR (không đổi) Vì K cố định nên N di động trên đường tròn ;KR Nhận xét: Trong hình có ba điểm cố định là A, B, O. Điểm N không cách đều điểm nào trong ba điểm đó. Vì thế ta vẽ hình phụ để tìm điểm cố định thứ tư là điểm K. Khi đó chỉ còn phải chứng minh KN có độ dài không đổi.
Ví dụ 3. Cho trước đoạn thẳng AB. Đường tròn O thay đổi có bán kính 2 AB R . Vẽ các tiếp tuyến AC và BD. Cho biết ACBD , hỏi tâm O di động trên đường nào? Giải  Tìm cách giải Vẽ vài vị trí của điểm O, ta thấy chúng tẳng hàng và các điểm O này luôn cách đều hai đầu của đoạn thẳng cố định nên ta nghĩ đến đường trung trực của đoạn thẳng AB.  Trình bày lời giải Ta có: OCAC , ODBD (tính chất của tiếp tuyến). AOC và BOD có: ACBD ;  90CD ; OCOD Nên ..AOCBODcgc Suy ra OAOB Điểm O cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB cố định nên điểm O di động trên đường trung trực của AB Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng song song xy và xy cách nhau một khoảng 2a . Một đường tròn O tiếp xúc với xy và xy . Hỏi điểm O di động trên đường nào? Giải  Tìm cách giải Vẽ vài vị trí của điểm O ta thấy chúng thẳng hàng và nằm trên một đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho.  Trình bày lời giải Gọi H và H là các tiếp điểm của đường tròn O trên xy và xy . Ta có OHxy , OHxy Vì // xyxy nên ba điểm H, O, H thẳng hàng Ta có 2:2OHOHaa Điểm O cách đều hai đường thẳng song song xy và xy một khoảng bằng a nên O di động trên đường thẳng //// xydxy và cách mỗi đường đó một khoảng bằng a Ví dụ 5. Cho đường tròn ;OR và một điểm A cố định không trùng với tâm O. Qua A vẽ một đường thẳng không đi qua tâm cắt đường tròn tại B và C. Các tiếp tuyến B và C của đường tròn cắt nhau tại M. Hỏi điểm M di động trên đường nào? Giải Từ M vẽ đường thẳng mOA , cắt OA tại H. Ta có MBMC và MO là tia phân giác của góc BMC Từ đó suy ra MOBC .AOKMOHgg∽ Suy ra OKOA OHOM Do đó ..OHOAOKOM 1 Xét COM vuông tại C, có CK là đường cao, ta có: 22 .OKOMOCR 2 Từ 1 và 2 suy ra 2 .OHOAR2R OH OA (không đổi) Vậy H là một điểm cố định trên tia OA. Suy ra điểm M di động trên đường thẳng mOA tại H C. Bài tập vận dụng  Điểm di động trên đường tròn
11.1. Cho đoạn thẳng AB và điểm K nằm giữa A và B. Một tia Kx quay quanh K, trên Kx lấy đểm M sao cho  AMKABM . Hỏi điểm M di động trên đường nào? 11.2. Cho đường tròn ;OR . Từ một điểm M di động nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn tạo thành một góc bằng  cho trước. Hỏi điểm M di động trên đường nào? 11.3. Cho đường tròn ;OR . Trên đường tròn lấy một điểm A cố định và một điểm B di động. Từ A vẽ tiếp tuyến xy. Đường thẳng vẽ từ B vuông góc với xy và đường thẳng vẽ từ O vuông góc với AB cắt nhau tại M. Hỏi điểm M di động trên đường nào? 11.4 Cho tam giác ABC, cạnh 6BCcm cố định và 3ABcm . Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại M. Hỏi điểm M di động trên đường nào? 11.5. Cho đường tròn O . Trên đường tròn lấy một điểm A cố định và một điểm B di động. Gọi C là điểm đối xứng của O qua AB. Hỏi trọng tâm G của tam giác ABC di động trên đường nào? 11.6.. Cho đường tròn O đường kính AB. Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Từ một điểm C di động trên đường tròn vẽ CHAB và CKxy . Hỏi trung điểm M của HK di động trên đường nào? 11.7. Cho đường tròn ;3Ocm và một điểm A cố định cách O là 6cm . Gọi B là một điểm di động trên đường tròn sao cho ba điểm A, O, B không thẳng hàng. Gọi OM và ON là các đường phân giác trong và ngoài tại điểm O của tam giác AOB. Hỏi điểm M và điểm N di động trên đường nào?  Điểm di động trên đường thẳng 11.8. Cho xOy góc khác góc bẹt. Đường tròn K tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy. Hỏi điểm K di động trên đường nào? 11.9. Cho đường tròn ;OR và một điểm A cố định. Gọi B là một điểm di động trên đường tròn sao cho A, O, B không thẳng hàng. Qua O vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến Bx của đường tròn tại M. Hỏi điểm M di động trên đường nào? . 11.10. Cho đường tròn O đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm C. Vẽ đường tròn ;CCO . Tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với đường tròn O tại D, tiếp xúc với đường tròn C tại E. Chứng minh rằng C di động trên tia đối của tia BA thì điểm E di động trên một đường thẳng cố định. 11.11. Cho hai điểm cố định A và B. Vẽ các đường tròn O và O cùng nhau đi qua A và B. Vẽ dây AC của đường tròn O tiếp xúc với đường tròn O tại A. Vẽ dây AD của đường tròn O tiếp xúc với đường tròn O tại A. Qua O vẽ một đường thẳng vuông góc với AB. Qua O vẽ một đường thẳng vuông góc với AD, hai đường thẳng này cắt nhau tại M. Hỏi khi hai đường tròn O và O thay đổi nhưng luôn đi qua A và B thì điểm M di động trên đường nào? 11.12. Cho đường tròn ;OR và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến xy, trên đó lấy điểm M di động. Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn ;OR với tiếp điểm B.
a) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Hỏi khi điểm M di động trên xy thì điểm K di động trên đường nào? b) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB. Hỏi khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào? HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 11.1. AMKABM∽ (g.g) AMAK ABAM 2 .AMABAK .AMABAK (không đổi) Vì A cố định nên điểm M di động trên đường tròn ;.AABAK 11.2. Vẽ bán kính OA, ta có OAMA Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau, ta có 1 22AMOAMB  Xét AOM vuông tại A ta có:   sinsin 22 OAR OM AMB (không đổi) Vì điểm O cố định nên điểm M di động trên đường tròn ; sin 2 R O        11.3. Vì xy là tiếp tuyến nên OAxy Mặt khác BMxy , nên //BMOA Suy ra  OABABM (so le trong). Gọi H là giao điểm của OM và AB Ta có HOAHMB (g.c.g) OAMB Tứ giác AOBM có //BMOA và OA=MB nên là hình bình hành Suy ra AM=OB=R (không đổi) Vì điểm A cố định nên điểm M di động trên đường tròn ;AR 11.4. Xét ABC△ có BM là đường phân giác nên 62 31 CMBC AMBA Suy ra 2 21 CM CMAM  hay 2 3 CM CA Từ M vẽ //ABMK KBC Ta có 2 3 KMCKCM BACBCA