Tiêu đề Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 9 - Ứng dụng tích phân.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 9 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Diện tích hình thang cong: Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số yfx , trục hoành và hai đường thẳng xa , xb ( ab ). Giả sử f là hàm số liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn ;ab . Diện tích S của hình thang cong đó là: SFbFa . Diện tích hình phẳng Từ định nghĩa tích phân, với 0yfx và liên tục trên đoạn ;ab thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị yfx , trục hoành và 2 đường thẳng ,xaxb là: b a Sfxdx  . Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị xgy , trục tung và 2 đường thẳng yc , yd là: d y c Sgydy  . Mở rộng cho yfx bất kỳ liên tục trên đoạn ;ab thì diện tích giới hạn như trên là: b a Sfxdx  Đối với 2 đồ thị ,yfxygx liên tục trên đoạn ;ab thì diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị đó và 2 đường thẳng xa , xb là: b a Sfxgxdx  Chú ý: - Xác định theo định nghĩa gồm 1 hàm yfx và trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm. - Xác định theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên. Phá dấu giá trị tuyệt đối thì xét dấu, chia miền so sánh hoặc dùng đồ thị trên dưới. - Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư hoặc đổi vai trò x và y; dựa vào tính đối xứng để tính gọn.
Trang 2 Thể tích khối tròn xoay Thể tích vật thể tổng quát b a VSxdx  Thể tích khối tròn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn bởi ,0yfxy (trục hoành) và ,xaxb quanh trục hoành: 2 b a Vydx  Tương tự, nếu quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi ,0xgyx và ,ycyd thì có thể tích: 2 d c Vxdy  . Chú ý: - Xác định theo công thức hình giới hạn bởi 1 hàm yfx và trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm. - Xác định hình theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên. - Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối tròn xoay, liaasy thể tích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: 22xyxe , trục hoành và 2 đường thẳng 0,3xx . Hướng dẫn giải 3322 00 1 22 3 xx Sxedxxde  3322666 00 11113 252131 22244 xx xeedxeee  (đvdt). Bài toán 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: 12yxxx và trục hoành. Hướng dẫn giải 01,0,2yxxx 2 1 12Sxxxdx    023232 10 22xxxdxxxxdx    37 12 (đvdt).
Trang 3 Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C của hàm số: 2 21012 2 xx y x    và trục hoành. Hướng dẫn giải 01,6yxx Diện tích hình phẳng S cần tìm là: 62 1 21012 2 xx Sdx x     6 1 16 142 2xdx x      62 1 1416ln26316ln8xxx   (đvdt) Bài toán 9.4: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: 2 1yx và 5yx . Hướng dẫn giải Do tính đối xứng nên 32 0 251Sxxdx  1322 01 25151xxdxxxdx   13 3232 01 111173 46 32323xxxxxx       (đvdt).
Trang 4 Bài toán 9.5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 244xy và 41xy . Hướng dẫn giải Do tính đối xứng nên 122SSS  1 41 1 2 4 20 4 221 4 x dxxdx    16856 3515 (đvdt). Cách khác: 144 0 241Syydy  Bài toán 9.6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 222,20ypxxpyp . Hướng dẫn giải Hoành độ giao điểm: 2 2 20,2 2 x pxxxp p     22 2 0 4 2 23 p x Spxdxp p     (đvdt) Bài toán 9.7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 23 yx và 222yx . Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:  23 32 2 yx yx      3321,1xxxy Nhánh nằm trên trục hoành của hai đường cong tương ứng là 2 3 xy và 2 3 2yy Theo tính chất đối xứng thì 122 33 0 8 22 5Syydy    (đvdt). Bài toán 9.8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3134yxx và trục hoành.