Tiêu đề HSG T7 - CĐ3 - TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU (42 TRANG).pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 1 ĐS7. CHUYÊN ĐỀ3– TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. A. Tỉ lệ thức 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số      , , , ; 0, 0 a c a b c d Q b d b d Trong đó: Các số hạng a và d được gọi là các ngoại tỉ, các số hạng b và c được gọi là trung tỉ 2. Tính chất: a) Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) Nếu  a c b d thì ad bc  b) Tính chất 2: Nếu ad bc  và a b c d , , , 0  thì ta có:     ;;; a c a b d c d b b d c d b a c a Như vậy trong tỉ lệ thức, ta có thể hoán vị các trung tỉ với nhau, hoán vị các ngoại tỉ với nhau, hoán vị cả trung tỉ với nhau, cả ngoiạ tỉ với nhau. B. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau +)          a c a c a c a c b d b d b d b d +)                a c e a c e a c e a c e b d f b d f b d f b d f (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 2. Chú ý: Khi ta nói các số x y z , , tỉ lệ với các số abc , , , tức là:   x y z a b c hoặc x y z a b c : : : :  PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI. Dạng 1. Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau I. Phương pháp giải. 1. Tỷ lệ thức: Là đẳng thức của hai tỉ số   ( , 0) a c b d b d hoặc a b c d : :  Trong đó: a b c d , , , là các số hạng của tỷ lệ thức - a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ - b và c là các số hạng trong hay trung tỉ Các số a và d được gọi là ngoại tỉ; các số b và c được gọi là trung tỉ 2. Tính chất của tỉ lệ thức a) Tính chất 1: Nếu    a c ad bc b d b) Tính chất 2: Nếu        0 ; ; ; a c d b d c a b ad bc b d c a b a c d 3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Nếu          a c a c a c a c b d b d b d b d (giả thiết các phân số đều có nghĩa) - Mở rộng: + Nếu                a c e a c e a c e a c e b d f b d f b d f b d f (giả thiết các phân số đều có nghĩa)
CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 2 Ví dụ: 2 4 6 2 4 6 4 2 4 6 2 4 6 0 ; 3 6 9 3 6 9 6 3 6 9 3 6 9 0                 (do 0 0 không có nghĩa) nên tính chất không còn đúng - Nâng cao: + Nếu    a c e k b d f thì 1 2 3 1 2 3      k a k c k e k k b k d k f + Nếu  a c b d thì    a b c d b d ;    a b c d a c (Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ) 4. Chú ý: Khi có dãy tỉ số   x y z a b c , ta nói các số x y z , , tỉ lệ với các số abc , , Ví dụ: Khi có dãy tỉ số , 2 3 5   abc ta nói các số abc , , tỉ lệ với các số 2,3,5 Ta cũng viết abc : : 2:3:5  +) Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức  a c b d suy ra     2 2 1 2 1 2 1 2 . ; . . 0 ; , 0                   a c a c a c k a k c k k k k k b d b d b d k b k d Từ 3 3 3 2 . . ; .                                x y z x y z x y z x y z a b c a b c a b c a b c II. Bài toán. Bài 1:Chứng minh rằng nếu ( 0)        a b c d c d b c d a thì 0         a c a b c d Lời giải Chú ý: Trong bài toán có chữ nếu thì không cần đặt điều kiện mẫu khác 0 nữa Ta có: 1 1                              a b c d a b b c a b b c a b c d a b c d b c d a c d d a c d a d c d a d   0 1 1 0 0 1 1                                     a b c d a b c d a b c d c d d a a c c d d a đpcm Bài 2:Cho ( ) :( ) : 1:9:30 x y x y xy    . Với x y, 0  hãy tính xy ? Lời giải Theo giả thiết ta có: ( ) : ( ) : 1:9:30 ( , 0)(1) 1 9 30          x y x y xy x y x y xy x y Từ (1) 1 6 30 1 9 10 5 30 5 6                 xy x y x y x y x y x xy x y y Lại có: * 30 1 5    xy x y x , thay y  6 vào (*) ta được: 6 ( 6) 6 3 3 45 30 1 5 5 1 4 2 30 2              xy x x x x xy xy Vậy xy  45 Bài 3:Tìm các số 1 2 100 a a a ; ;...; , biết 1 2 99 100 1 2 99 100 .... 100 99 2 1         a a a a
CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 3 và 1 2 100 a a a     ... 10100 Lời giải Theo bài ra tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và ta có: 1 2 99 100 1 100 1 2 99 100 ( ... ) (1 2 ... 100) .... 100 99 2 1 100 99 ... 1                   a a a a a a 1 2 100 (1 100).100 10100 2 1 ... 101 (1 100).100 : 2           a a a Vậy 1 2 100 a a a     ... 101. Bài 4:Cho các số a b c d , , , 0  và thỏa mãn 2 2 3 3 3 b ac c bd b c d      ; ; 0. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3      a b c a b c d d Lời giải: Vì các số a b c d , , , 0  , ta có: 3 3 3 2 2 3 3 3             ; (*) a b b c a b c a b c b ac c bd b c c d b c d b c d Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (1)         a b c a b c b c d b c d . Lại có: 3 3    . . . . (2) a a a a a b c a b b b b b c d d Từ (1)(2) 3 3 3 3 3 3       a b c a b c d d (đpcm) Bài 5:Cho ( ) :( ) :( ) 6:7:8; 42. a b b c c a a b c        Hãy tìm c ? Lời giải Cách 1: từ đề bài suy ra 6 ; 7 ; 8 6 7 8              a b b c c a k a b k b c k c a k       2( ) 21 4 a b c k k Cách 2: 2( ) 84 4 4 24 18 6 7 8 21 21 6                   a b b c c a a b c a b a b c Bài 6:Cho  a c b d . Chứng minh rằng: a)    a b c d b d b)    a c b d c d c)    a b c d a c Lời giải a) Ta có: 1 1          a c a c a b c d b d b d b d b) Ta có: 1 1            a c a b a b a c b d b d c d c d c d (với c khác 0) 24 18 42 a b c a b c         
CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ LỆ THỨC . TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 4 c) Ta có: 1 1            a c b d b d a b c d b d a c a c a c (với a và c khác 0) Bài 7.1:Cho  a c b d . Chứng minh rằng: a)    a a c b b d b)      a b c d a b c d 7.2) Với  2 a bc thì      a b c a a b c a Lời giải a) Ta có     a c a c b d b d (tính chất dãy tỉ số bằng nhau) b)                a c a b a b a b a b c d b d c d c d c d a b c d (đpcm) c) Từ giả thiết               a c a b a b a b c a b a c a c a a b c a (đpcm)(với abc , , đôi một khác nhau và khác 0) Bài 8: a)Nếu  a c b d thì      2 2 2 2 2 2 7 3 7 3 11 8 11 8 a ab c cd a b c d b) Với  2 b ac thì    2 2 2 2 a b a b c c c) Nếu  a c b d thì    3 2 3 2 a a c b b d Lời giải a) Ta có             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 7 3 11 8 . 7 3 11 8 a c a b a b a b a ab a b b d c d c d c d c cd c d (đpcm) Cách khác: đặt a c k b d   suy ra a bk  , c dk  , thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính mỗi vế theo k suy ra điều phải chứng minh b) Ta có         2 2 2 2 2 2 2 2 . a b a b a b a b a b c b c b c b c c (đpcm) c) Theo giả thiết            3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 a c a c a c a a c b d b d b d b b d (đpcm) Bài 9:Cho  a c b d . Chứng minh rằng    2 2 2 2 a c ac b d bd Lời giải Ta có:             2 2 2 . 1 a c a c a a b d b d b b Lại có:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a c a c b d b d b d Từ (1)(2)    2 2 2 2 a c ac b d bd (đpcm) Cách 2: đặt a c k b d   suy ra a bk  , c dk  , thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính mỗi vế theo k suy ra điều phải chứng minh.