Tiêu đề Chuyên đề 6_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12- PHIÊN BẢN 2025-2026 1 CHUYÊN ĐỀ 6. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm vectơ trong không gian  Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Chú ý  Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là AB uuur , đọc là "vectơ AB ".  Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là a b u v , , , ,1⁄4 r r r r  Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau,... được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng. 2. Các phép toán vectơ trong không gian a) Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian  Trong không gian, cho hai vectơ a b, r r . Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ AB a BC b = = , uuur uuur r r Vectơ AC uuur được gọi là tổng của hai vectơ a r và b r , kí hiệu là AC a b = + uuur r r . Hình 1 Chú ý  Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.  Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ- không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian.  Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.  Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:  Với ba điểm A B C , , trong không gian, ta có: AB BC AC + = uuur uuur uuur (Quy tắc ba điểm);  Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC + = uuur uuur uuur (Quy tắc hình bình hành);  Nếu ABCD . A B C D ¢ ¢ ¢ ¢ là hình hộp thì AB AD AA AC + = + ¢ ¢ uuur uuur uuur uuuur (Quy tắc hình hộp).  Trong không gian, cho hai vectơ a b, r r . Hiệu của vectơ a r và vectơ b r là tổng của vectơ a r và vectơ đối của vectơ b r , kí hiệu là a b - r r .  Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ: Với ba điểm O A B , , trong không gian, ta có: OA OB BA - = uuur uuur uuur (Quy tắc hiệu). b) Tích của một số với một vectơ trong không gian Cho số thực k 1 0 và vectơ a 1 0 r r . Tích của số k với vectơ a r là một vectơ, kí hiệu là kar , được xác định như sau:


CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12- PHIÊN BẢN 2025-2026 4 Khi đó, bộ số a b c ; ;  là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . 3. Tọa độ của một vectơ  Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ OM uuuur . OM a b c M a b c = Û  ; ; ; ;    uuuur  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ của một vectơ u r là tọa độ của điểm A , trong đó A là điểm sao cho OA u = uuur r .  Nếu u r có tọa độ a b c ; ;  thì ta viết u a b c =  ; ;  r , trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung độ và c gọi là cao độ của vectơ u r .  Với i j k , , r r r lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz , , . Ta có: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu u a b c =  ; ;  r thì u ai bj ck = + + r r r r . Ngược lại, nếu u ai bj ck = + + r r r r thì u a b c =  ; ;  r . Chú ý: Với u x y z =  1 1 1 ; ;  r và v x y z =  2 2 2 ; ;  r , ta có: 1 2 1 2 1 2 x x u v y y z z ì = ï = Û = í ï î = r r .  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A x y z  A A A ; ;  và B x y z  B B B ; ;  . Khi đó, ta có: AB x x y y z z = - - -  B A B A B A ; ;  uuur . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: (THPT Kinh Môn - Hải Dương 2025) Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt trên quả đồi ở vị trí I 1; 2;3 -  biết rằng điện thoại sẽ bắt được sóng tốt nếu vị trí của điện thoại cách vị trí điểm I 1; 2;3 -  không quá 5000 m. Nhà các bạn Minh Hiển bạn Nhật Hoàng và bạn Phương Linh có vị trí tọa độ lần lượt là M 1;2;0 ; N-3;1;0 và P2; 2;0 -  a) Bạn Minh Hiển có thể sử dụng điện thoại tại nhà. b) Bạn Nhật Hoàng có thể sử dụng điện thoại tại nhà. c) Bạn Phương Linh có thể sử dụng điện thoại tại nhà. d) Gọi Q là vị trí nằm trên đoạn thẳng đi từ nhà Minh Hiển đến nhà Nhật Hoàng sao cho tại vị trí này có thể sử dụng điện thoại. Độ dài lớn nhất của MQ là 8 17 17 .