Tiêu đề Chương 1 - BĐT qua các đề thi chọn HSG cấp THCS - Năm 2016 - 2017.doc ✅

Chương 1 BĐT QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THCS 1. NĂM HỌC 2016 – 2017 Bài 22 (Quảng Ngãi). Với x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 12. Tìm GTLN của biểu thức: 215215215 .xyzxyzxyz M xyz   Bài 23 (Thanh Hóa). Với a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: 2333222 222 ()131() 30(a)460() abcabcabc P bcabcabbcca    Bài 24 (Thái Bình). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .abbccaabc Tìm GTNN của biểu thức: 444444 333333 ()()() abbcca P ababbcbcacca    Bài 25 (Nghệ An). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1.abbcca Tìm GTLN của biểu thức: 222 2 . 111 abc P abc   Bài 26 (Quảng Trị). Với a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 ()() bdbd abcdacbd  Bài 27 (Gia Lai). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2223.abc Tìm GTNN của biểu thức: 111 2()Pabc abc Bài 28 (Đồng Tháp). Với x, y là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: 111 xyz P xyz  Bài 29 (Lâm Đồng). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6.abcabbccaabc Chứng minh rằng: 222 111 3. abc Bài 30 (Bình Định). Với x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 222 1111111 2xyzyzxzxyxyyzzx     Bài 31 (Vĩnh Long). Với x, y, z là các số thực thỏa 2 223 1. 2 x yzyz Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: Pxyz Bài 32 (Bắc Ninh). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 222 888888 ()4(bc)4()4333abc ababcabcacabcabc  Bài 33 (TP.Hồ Chí Minh). Với x, y là các số thực dương thỏa mãn: 2 1 11 xy xy  .
Tìm GTLN của 2.Pxy Bài 34 (Phú Thọ). Với a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của 222222 2()()4.Pabbccaabcabc Bài 35 (Nam Định). Với a, b là các số thực thỏa mãn 224346.aabb Chứng minh rằng: 24311.abab Bài 36 (Tuyên Quang). Với a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 9. Chứng minh rằng: 765 6 234 bccaab abc    Bài 37 (Hưng Yên). Với a, b, c là các số thực dương lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa mãn 3218()27.abcabc Tìm GTLN của biểu thức: 222 111 .abc P abc   Bài 38 (Cà Mau). Với a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: 22222 ().abcdeabcde Bài 39 (Bình Dương). Với a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 1 . (43)(34)25 ab abab    Bài 40 (Quảng Nam). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3.abbccaabc Tìm GTNN của biểu thức: 333 222.abc P caabbc  Bài 41 (Đăk Lăk). Với a, b, c là các số thực thỏa mãn 12;12.ab Tìm GTLN của biểu thức: 22 22 4242 Pabba abba     Bài 42 (Hà Nội). Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 2222.xyz Chứng minh rằng: a) 2.xyzxy b) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: . 222 xyz P yzzxxy  Bài 43 (Hải Dương). Với a, b, c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức: 222 abbcca P aabbcbbccaccaab 
LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Bài 22 (Quảng Ngãi). Với x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 12. Tìm GTLN của biểu thức: 215215215 .xyzxyzxyz M xyz   Lời giải: Cách 1: Vì 12xyz nên 215215215 333111 33 xyzxyzxyz M xyz xyz xyzxyz       Theo BĐT Cauchy – Schwarz, ta được: 3331113.93 333. 4 xyz M xyzxyzxyz     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4.xyz Do đó GTLN của M là 3 . 4 Cách 2: 1 Tương tự như cách 1 ta có: 333 .xyz M xyz   Ta sẽ tìm m, n sao cho đánh giá sau luôn đúng: 3 .x mxn x   Điều đó tương đương: 2(1)30.mxnx  Để biểu thức này luôn đúng, ta liên tưởng đến biểu thức là một bình phương của một biểu thức nào đó, tức ta cần: 2:(1)120nm  Ngoài ra, ta có thể dự đoán được điểm rơi cho bài toán là 4x nên ta cần có: 164(1)30mn . Từ đó ta tìm được m, n: 31 ;. 162mn  Khi đó, việc kiểm tra đánh giá 331 162 x x x   đơn giản bằng biến đổi tương đương. Khi đó ta được: 333 () 1624Mxyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4,xyz do đó GTLN của M là 3 . 4 Bài 23 (Thanh Hóa). Với a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: 2333222 222 ()131() 30(a)460() abcabcabc P bcabcabbcca    Lời giải: Không khó để ta dự đoán GTNN của P là 4 3 . Các số hạng của P với các biểu thức gợi ta đến cách tách tổng bình phương 2 . Ta biến đổi như sau: 1 Cách làm này thường được gọi tên là phương pháp hệ số bất định. Bản chất của phương pháp này giống phương pháp tiếp tuyến nhưng được trình bày đơn giản hơn bằng cách không sử dụng công cụ đạo hàm, phù hợp với các HS cấp THCS. 2 Một kỹ năng căn bản của phương pháp SOS, bạn đọc có thể xem trong mục “Một số phương pháp thông dụng trong chứng minh BĐT”.
2333 222 222 222 222 222 4()13 330()1044 131()131 60()60 () ()()131() 2 30()4120() 1131 830()120() cyccyccyc abcabc P abcabc abc abbcca abc ababab abcabcabbcca abc abcabcabbcca                 2 () cyc ab    Do đó ta cần chứng minh: 222 1131 830()120() abc abcabcabbcca    Nhưng điều này là hiển nhiên vì 131() 8270108 abcabcabc abcabcabc   222 1131 30()120() AMGM abcabbcca    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .abc Tức GTNN của P là 4 . 3 Bài 24 (Thái Bình). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .abbccaabc Tìm GTNN của biểu thức: 444444 333333 ()()() abbcca P ababbcbcacca    Lời giải: Từ giả thiết ta có: 111 1. abc Tiến thành đổi biến: 111 ,,z.xy abc Biểu thức P được viết lại là: 444444 333333 xyyzzx P xyyzzx    Ta thấy 44222 3322 1()() ()0 22()() xyxyxxyy xy xyxyxxyy    Tương tự cho các số hạng còn lại. Ta được: 3()3.Pxyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3.abc Do đó GTNN của P là 3 3 . Bài 25 (Nghệ An). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1.abbcca Tìm GTLN của biểu thức: 222 2 . 111 abc P abc   Lời giải: Ta thay giả thiết vào biểu thức bài toán: 22 222 ()()1 aaa abacaabbccaa  3 Bài toán trùng hợp là đề thi Poland 2006.