Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 1 - CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ HỮA TỈ.pdf ✅

CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 1 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A. Kiến thức cần nhớ 1. Với , , , , 0   a b x y a b m Z m m m     ta có: ; a b a b a b a b x y x y m m m m m m           . 2. Với ; a c x y b d   ta có: . . . ; : : . a c ac a c a d x y x y b d bd b d b c     (với y  0 ). 3. Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập hợp Z. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính: a) 1 1 1 1 18 9 6 3               ; b) 1 1 1 1 2 3 23 6     ; Giải  Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng cách bỏ ngoặc. Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn.  Trình bày lời giải. a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 12 2 ; 18 9 6 3 18 9 6 3 18 18 18 18 18 3                         b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 23 6 2 3 23 6 2 3 6 23 23 23                          Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính a) 1 13 5 2 1 5 : : 2 14 7 21 7 7                 ; b) 3 5 2 1 8 2 : 2 : 4 13 7 4 13 7                 Giải  Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể vận dụng tính chất phân phối: a m b m a b m : : :      a m b m a b m : : :     
CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 2 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG  Trình bày lời giải a) 1 13 2 1 5 10 7 2 : . 2 14 21 7 7 21 5 3                 b)   3 5 1 8 2 7 2 : 2 . 7 4 13 4 13 7 2                  Ví dụ 3. Tìm x. a) 1 3 3 2 5 65 x x    ; b) 2 4 1 4 : 0 9 9 3 7 x x               ; c) 5 6 7 8 9 5 2015 2014 2013 2012 2011 x x x x x            ; d) 2 3 4 5 360 0 338 337 336 335 5 x x x x x           . Giải  Tìm cách giải. Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:  ax bx a b x       1 . k k a a  nên 1 1 1 . k k k k a b c a b c                 A B. 0  thì A  0 hoặc B  0  Trình bày lời giải. a) 1 3 3 1 3 3 11 3 3 11 . . : 2 5 65 2 5 65 10 65 65 10 x x x x x                        6 143 x    b) 2 4 1 4 2 4 : 0 0 9 9 3 7 9 9 x x x                  hoặc 1 4 : 0 3 7 x    suy ra 2 4 9 9 x  hoặc 4 1 : 2 7 3 x x      hoặc 12 7 x  . Vậy 12 2; 7 x           c) 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 0 2015 2014 2013 2012 2011 x x x x x                2020 2020 2020 2020 2020 0 2015 2014 2013 2012 2011 x x x x x              1 1 1 1 1 2020 . 0 2015 2014 2013 2012 2011 x                 
CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 3 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG Vì 1 1 1 1 1 0 2015 2014 2013 2012 2011      nên x   2020 0    x 2020 d) 2 3 4 5 360 1 1 1 1 4 0 338 337 336 335 5 x x x x x                340 340 340 340 340 0 338 337 336 335 5 x x x x x              1 1 1 1 1 340 0 338 337 336 335 5 x                  Mà 1 1 1 1 1 0 338 337 336 335 5      . Suy ra x  340 . Ví dụ 4. Tìm số nguyên x, y biết: 5 1 4 8 y x   Giải  Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý ab k a b Z b     , , 0 thì a Ư(k), b Ư(k). Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên.  Trình bày lời giải.   5 1 5 1 5 1 2 1 2 . 40 4 8 8 4 8 y y y y x x x x            Vì x y Z y ; 1 2    là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị: 1 2  y 1 5 -1 -5 y 40 8 -40 -8 Từ đó suy ra x y; 40;0 , 8; 2 , 40;1 , 8;3             Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức: a) 5 5 5 6 6 6 5 13 19 27 101 123 134 11 11 11 11 11 11 11 3 19 27 101 123 134 A             ; b) 1 1 1 6 39 51 1 1 1 8 52 68 B      Giải  Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối
CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 4 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG 1 1 1 . k k k k a b c a b c                để rút gọn.  Trình bày lời giải. a) Ta có: 5 5 5 6 6 6 5 13 19 27 101 123 134 11 11 11 11 11 11 11 3 19 27 101 123 134 A             1 1 1 1 1 1 5 1 6 13 19 27 101 123 134 1 1 1 1 1 1 11 1 11 3 19 27 101 123 134                                     5 6 1 11 11     A b) Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 3 2 13 17 1 1 4 6 39 51 : 1 1 1 1 1 1 1 3 4 3 8 52 68 4 2 13 17 B                                 Ví dụ 6. Cho 2021 số nguyên dương 1 2 2021 a a a ; ;... thỏa mãn: 1 2 2021 1 1 1 ... 1011 a a a     . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau. Giải  Tìm cách giải. Dạng toán này chúng ta không chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào, mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi. Đối với dạng toán này thông thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:  Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng nhau.  Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển nhiên.  Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đúng.  Trình bày lời giải. Giả sử trong 2021 số nguyên dương 1 2 2021 a a a ; ;... thỏa mãn: không có hai số nào bằng nhau. Khi đó 1 2 2021 1 1 1 1 1 1 ... ... a a a 1 2 2021        1 1 1 1 1 ... 1010 1011 2 2 2 1         mâu thuẫn với đề bài. Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau