Tiêu đề Chương 5_Bài 14_ Lời giải_Toán 12_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG Định Nghĩa: Vectơ n  0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) . Chú ý: Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) thì kn cũng là một vectơ pháp tuyến của ( ) . Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D H . .5.3    ( ) . Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng? a) AA và 2BB đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD). b) BD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . c) AC  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD). Lời giải Vì các đường thẳng AA BB   , vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) nên AA và 2BB đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD).
Đường thẳng BD vuông góc với hai đường thẳng AC và AA nên vuông góc với mặt phẳng . Vậy BD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Đường thẳng AC  không vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) nên vectơ AC' ' không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai. Luyện tập 1 trang 30 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(1 ; -2 ; 3), B 3;0;1 (− ) . Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của . Lời giải Vi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của AB ⊥ ( ). Do đó AB = − − ( 4;2; 2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u a b c = ( ; ; ) và v a b c = (   ; ; ). Khi đó vectơ n bc b c ca c a ab a b = − (      − − ; ;  ) vuông góc với cả hai vectơ u và v , được gọi là tích có hướng của u và v , kỉ hiệu là u v, . Chú ý: u v, 0  = khi và chỉ khi uv, cùng phương. - Với bốn số x y x y , , ,   , ta kí hiệu     = − x y xy x y x y . Khi đó tích có hướng u v,  xác định như sau  , ; ,         =     b c c a a b u v b c c a a b Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho u = − (1; 2;0) và v = − (3;1; 4) . Tính u v, . Lời giải
Ta có   ( ) 2 0 0 1 1 2 , ; ; 8;4;7 1 4 4 3 3 1   − − = =   − −   u v . Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , hai vectơ uv, đươơ gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P) . Nếu uv, là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì u v,  là một vectơ pháp tuyến của (P) . Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho các vectơ u v = − = − (2; 1;0 , 1; 1;2 ) ( ) . Gọi ( ) là một mặt phẳng song song với các giá của uv, . Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của ( ) . Lời giải Ta có   ( ) 1 0 0 2 2 1 , ; ; 2; 4; 1 0 1 2 2 1 1 1   − − = = = − − −      − − n u v . Do đó uv, là cặp vectơ chỉ phương và n là một vectơ pháp tuyến của ( ) . Luyện tập 3 trang 31 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A 1; 2;1 , B 2;1;0 ,C 2;3;2 ( − − − ) ( ) ( ) . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2 x y z + − + = 2 3 1 0 ; b) 1 2 3 + + + = 2 0 x y z c) y + =1 0 . Lời giải Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y + =1 0 có dạng Ax By Cz D + + + = 0 và thoả mãn ̃ A B C , , không đồng thời bằng 0 0, 1, 0 ( A B C = = = ) . Vì vậy, trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y + =1 0 là phương trình mặt phẳng. Luyện tập 4 trang 32 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? a) 2 2 2 x y z + + − = 2 3 1 0 ; b) 5 0 2 3 − + + = x z y c) xy + = 5 0. Lời giải
Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình 5 0 2 3 − + + = x z y có dạng Ax + 1 1 By Cz D 0 ; 1; 2 3   + + = = = − =     A B C . Vi vậy trong các phương trình trên, chỉ có phương trình 5 0 2 3 − + + = x z y là phương trình mặt phẳng. Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x y z + − + = 2 1 0 . a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của ( ) . b) Vectơ m = − (2;4; 2) có là vectơ pháp tuyến của ( ) hay không? c) Trong hai điểm A B (1;3;2 , 1;1;4 ) ( ) , điểm nào thuộc mặt phẳng ( ) ? Lời giải a) Mặt phẳng ( ) nhận n = − (1;2; 1) làm một vectơ pháp tuyến. b) Do m n = 2 mà n là vecơ pháp tuyến của nên m cũng là vectơ pháp tuyến của . c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm A B (1;3;2 , 1;1;4 ) ( ) , điểm nào có tọa độ thoả mãn phương trình mặt phẳng ( ) . Do 1 2 3 2 1 0 +  − +  và 1 2 1 4 1 0 +  − + = nên trong hai điểm AB, chỉ có toạ độ điểm B thoả mãn phương trình mặt phẳng ( ) . Vậy điểm B thuộc mặt phẳng ( ) , điểm A không thuộc mặt phẳng ( ) . ❸. LẶP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng đỉ qua điểm M x y z 0 0 0 0 ( ; ; ) và có vectơ pháp tuyến n A B C = ( ; ; ) thì có phương trình là: A x x B y y C z z Ax By Cz D D Ax By Cz ( − + − + − =  + + + = = − + + 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) 0 0, voi ( ) Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (2; 1;0 − ) và có vectơ pháp tuyến n = − (3; 4;6) . Lời giải