Tiêu đề 0102 - Bài tập_ Giới hạn dãy số[Lời giải + Đáp án].pdf ✅

Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 1 BÀI TẬP: GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I: DÃY SỐ BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài 1: Sử dụng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau: 1) n lim1 1 → = 2) n n 1 1 lim → 2n 1 2 + = + 3) 2 n n 1 lim 0 → n 1 + = + 4) 3 2 n n lim → n 1 = + + Hướng dẫn giải 1)  ε 0 lấy N bất kỳ, khi đó   n N , (1) n u 1 1 1 0 − = − =  ε vậy theo định nghĩa ta có n lim1 1 → = , đpcm 2)  ε 0 xét ( ) n 1 n 1 1 1 1 u 2 2n 1 2 4n 2 2n 1 + − = − =  + + Chọn 1 1 1 N 1 ε 4ε 4ε 4N   = +        thì n 1 1 1 n N u ε 2 4n 4N   −    vậy theo định nghĩa ta có n n 1 1 lim → 2n 1 2 + = + đpcm 3)  ε 0 xét (1) n 2 2 n 1 n n 2 u 0 n 1 n n + + − =  = + . Chọn 2 2 2 N 1 ε ε ε N   = +        Khi đó n 2 2 n N u 0 ε n N   −    vậy theo định nghĩa 2 n n 1 lim 0 → n 1 + = + đpcm (1): thay bằng tử số lớn hơn, mẫu số bé hơn thì phân số lớn hơn (tất cả dương) 4)   M 0 xét 3 3 n 2 2 2 n n n u n 1 n n 2 =  = + + . Từ đó nếu chọn N 2M 1 2M =   +    thì: n n N n N u M 2 2      , theo định nghĩa 3 2 n n lim → n 1 = + + đpcm NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 2 ( ) 2N 1 2N 1 u a 1 a 1 a 0.5 1.5 a 0.5 + + − = − − = − −   −   − Hai điều trên mâu thuẫn, vậy điều giả sử là sai, suy ra dãy phân kỳ, đpcm Bài 2: Chứng minh rằng: 1) n n lim a , a 1 → = +  2) n n lim a 0, a 1 → =  3) n n lim a 1 a 0 → =   4) n n 1 lim 1 → 2 = Hướng dẫn giải 1) Đặt = +   = + = + +  ( ) ( ) n n a 1 b b 0 a 1 b 1 nb ... nb n limnb → = + (do b 0  ), suy ra n n lim a → = + đpcm 2) nếu a 0 = thì kết luận đúng, nếu a 0  đặt 1 b 1 a =  . Theo kết quả câu a thì n n limb → = + n n n n 1 lim a lim 0 → → b  = = , từ đây suy ra n n lim a 0 → = (xem bài 1.07) đpcm 3) +) Với a > 1 n  = + a 1 b , b > 0, suy ra ( ) ( ) n n n 1 2 2 n 1 n n n n a a a 1 b 1 C b C b ... C b C b nb b n = = + = + + + +  =   . Từ đó có thể kẹp: n a 1 a 1 b 1 1 n  = +  + → khi n → . Suy ra n n lim a 1 → = +) Với a = 1 ta có n n lim a 1 → = +) Với 0 < a < 1 khi đó c = 1/a > 1 và: n n n 1 1 a c c = = . Rõ ràng n n lim c 1 → = như đã chứng minh ở trường hợp đầu, suy ra n n lim a 1 → = Từ đó ta có với mọi a > 0 n n lim a 1 → = đpcm NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 3 4) Sử dụng kết quả câu 3): n n n n 1 1 1 lim lim 1 2 1 2 → → = = = đpcm Bài 3: Tìm giới hạn của các dãy số với số hạng tổng quát như sau: 1) n n n n ( 1) x n ( 1) + − = − − 2) 2 n 2 5n n 7 x 7n 2n 6 + − = − + 3) 3 2 n 2 2n 1 5n x 2n 3 5n 1 − = + + + 4) 2 n x n n n = − − 5) 3 3 n x n 1 n = + − 6) n n n 1 5 2 x 5 2 + − = + 7) n n n n 1 n 1 ( 2) 3 x ( 2) 3 + + − + = − + 8) 2 3 n sin n cos n x n − = 9) n n cosn x n 1 = + 10) ( ) 2 n x n n 1 .sinn = − − 11) n 2 n.sinn! x n 1 = + 12) n n n x 2 = 13) n n 2 x n! = 14) 2 2 2 n 3 1 3 ... (2n 1) x n + + + + = 15) x cos lnn cos ln n 1 n ( ) ( ( )) = − +     16) ( ) n 1 1 1 x ... 1.2 2.3 n 1 n = + + + − 17) n 2 2 2 1 1 1 x 1 1 ... 1 2 3 n      = − − −           18) 2 2 2 n 3 1 2 ... (n 1) x n + + + − = Hướng dẫn giải 1) ( ) ( ) n n n n n n n n n ( 1) 1 1 / n lim x lim lim 1 n ( 1) 1 1 / n → → → + − + − = = = − − − − 2) 2 2 n 2 2 n n n 5n n 7 5 1/ n 7 / n l 7 im x lim lim 7n 2n 6 7 2/ n n 5 → → → 6 / + − + − = = = − + − + 3) ( ) → → →   − + −   + − + = + = +     + + + +       2 3 2 3 n 2 2 n n n 2n 1 5n 2n 3n 3n 1 n n 5n lim x lim lim 2n 3 2n 3 5n 1 5n 1 2 2 n n n 1 3n 1 1/ n 3/ n 1 lim lim 0 5n 1 5 1/ 2n 2 n 5 5 1 → → 3 3/ n  +   +  = − = − = − =         + + + + NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi
Học online tại: https://mapstudy.vn _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Thầy Phạm Ngọc Lam Trường 4 4) ( ) ( ) → → → → − − − − = = = = = + − + − + − + 2 2 2 2 n n n n 2 2 2 n n n n 1 1 lim n n n lim lim lim n n n n n 1 1 1/ n 1 1 1 n 5) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 2 n n n 2 3 3 3 3 n n 1 lim n 1 n lim n n 1 lim n n n 1 n 1 → → → − − + − = − − = + − + − ( ) 2 n 2 3 3 3 3 0 1 lim n n n 1 n 1 → = = + − + − 6) n n 1 n 1 n 1 n n 5 2 5 / 2 2 1/ 2 1/ 2 lim lim 5 2 5 1 1 / 2 1 + → → + + − − − = = + = − + 7) ( ) ( ) n n n n 1 n 1 n 1 n n 1 3 ( 2) 3 1/ 3 2/ 3 / 3 1/ 3 lim lim ( 2) 3 1 2/ 3 1 → → + + + − + − + = = = − + − + . Ở đây sử dụng tính chất với -1 < a < 1 (bài này là -2/3) thì an có giới hạn bằng 0 khi n ra vô cùng 8) 2 3 n sin n cos n 2 0 x 0 n n −  =  → khi n n n lim x 0 → →   = (nguyên lý kẹp) nnn −   xxx mà ( n n ) n n lim x lim x 0 → → − = =  n n lim x 0 → = (lại theo nguyên lý kẹp) 9) n n cosn n 1/ n 0 x 0 n 1 n 1 1 1/ n  =  = → + + + khi n n n lim x 0 → →   = (nguyên lý kẹp). Tương tự bài 1.8 từ đây có n n lim x 0 → = 10) ( ) − − ( )  = − −  − − = = → + − + − 2 2 2 2 2 n 2 2 n n 1 1 0 x n n 1 .sinn n n 1 0 n n 1 n n 1 khi n n n lim x 0 → →   = (nguyên lý kẹp). Cũng từ đây có n n lim x 0 → = 11) n 2 2 2 n.sinn! n 1/ n 0 x 0 n 1 n 1 1 1/ n  =  = → + + + khi n n n lim x 0 → →   = (nguyên lý kẹp). Suy ra n n lim x 0 → = 12) ( ) ( ) ( ) − = + = + + + +  =  =  − n n 0 1 2 n 2 n n n n n n n n n 1 n n 2 1 1 C C C ... C C x 2 2 n n 1 / 2 NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi NNNNNNNNNNNNNNNNN https://www.facebook.com/tailieukhoahocmappi Đăng Ký Khóa Học Online Tại Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi Tài Liệu Được Chia Sẻ Bởi Fanpage: Tài Liệu Khóa Học Mappi