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Universite Mohammed V- Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques & Informatique Module de Calcul diérentiel Filières SM et SMI Semestre 5 Hamza BOUJEMAA 1
Chapitre 0 Rappels et compléments. I. Espaces vectoriels normés. Espaces de Banach. Dans tout ce qui suit E désigne un espace vectoriel sur IR ou IC muni d'une norme c'est à dire d'une application notée k.k : E → IR+, et vériant: a. kxk = 0 si et seulement si x = 0. b. kkxk = |k|kxk;pour tout k ∈ IR ou IC et tout x ∈ E. c. kx + yk ≤ kxk + kyk pour tous x et y ∈ E. Nous pouvons alors associer une application appelée distance notée d et dénie par d(x, y) = kx − yk pour tous x et y ∈ E. Nous considérerons qu'une application f de E vers F (F étant un autre espace vectoriel normé) est continue quand d(f(x), f(y)) tend vers 0 lorsque d(x, y) tend vers 0. La dénition d'une suite de Cauchy dans E est la même que dans l'espace vectoriel normé IR c.a.d. qu'une suite d'éléments (xn)n de E est dite de Cauchy si ∀ > 0 , ∃N ∈ INtel que ∀n ≥ N et p ≥ 0, d(xn, xn+p) < . On dira que E est un espace de Banach (ou un espace vectoriel normé complet) si toute suite de Cauchy dans E est convergente dans E. Exemples -IR muni de la norme valeur absolue est un espace de Banach.(On rappelle qu'on dé- montre que toute suite de Cauchy est bornée puis qu'elle possède forcément une seule valeur d'adhérence et qu'enn la suite est convergente vers cette valeur qui est par con- séquent sa limite.) -IRn muni de la norme euclidienne kxk = qPn i=1 xi 2 est un espace de Banach. (On vérie que si (xp)p est de Cauchy dans IRn , alors pour tout 0 ≤ i ≤ n, la suite formée par la i eme composante notée (x i p)p est de Cauchy dans IR et par conséquent convergente dans IR. On déduit alors aisément que (xp)p est convergente dans IRn . - On note E = C([a, b], IR) l'espace vectoriel des fonctions dénies et continues sur l'intevalle fermé, borné [a, b] et à valeurs dans IR. On le munit de la norme du sup: kfk = supx∈[a,b] |f(x)|. 2
On remarquera qu'elle est bien dénie et que c'est bien une norme. Nous allons vérier que E = C([a, b], IR) muni de cette norme est un espace de Banach. Pour cela, soit (fn)n une suite de Cauchy dans E, pour tout x ∈ [a, b], la suite (fn(x))n est une suite de Cauchy dans IR et par conséquent elle converge vers une limite que nous noterons f(x). La fonction f ainsi obtenue est une fonction continue car elle est forcément limite uniforme des fonctions continues (fn)n. -On peut généraliser en posant E = Cb(X, IR), espace des fonctions dénies, bornées et continues sur X, espace vectoriel normé quelconque, à valeurs réelles et kfk = supx∈X|f(x)|. -On peut se placer dans un cadre plus général en considérant E = Cb(X, F) où F est un espace de Banach. (Ce qui garantira l'existence d'une limite pour toute suite (fn(x))n lorsque que x est un élément quelconque xé dans X et l'idée de la démonstration est analogue à la pécédente.) On notera que les derniers exemples donnés sont des espaces de Banach de dimension innie. A présent, nous allons étudier la continuité des applications linéaires entre espaces de Banach. II. Applications linéaires continues. Théorème Soient E et F deux espaces vectoriel normé et f E → F linéaire. Les trois armations suivantes sont équivalentes: a. f est continue. b. f est continue en 0. c. Il existe une constante M strictement positive telle que kf(x)k ≤ M pour tout x ∈ E vériantkxk ≤ 1. Autrement dit, f est bornée sur la boule unité. Cette propriété est équivalente à ∃M > 0,telle que ∀x ∈ E ; kf(x)k ≤ Mkxk. Démonstration Il est clair que a) implique b). Montrons que b) implique c). Pour > 0 donné, il existe δ > 0 tel que pour kxk < δ on a kf(x)k < . En particulier, pour = 1, si kxk < r alors kf(x)k < 1. On aura donc kf(x)k < 1 r si kxk < 1. Ainsi, f est bornée sur la boule unité. Pour l'implication de c) vers a), on remarque d'abord que si x ∈ E est non nul, alors x kxk est de norme 1, par suite, en utilisant c) et la linéarité de f, on aura kf(x)k ≤ Mkxk. 3
A nouveau, via l'argument de linéarité, on aura kf(x) − f(y)k = kf(x − y)k < Mkx − yk. Ce qui signie la continuité de f en tout x. On note L(E, F) l'espace vectoriel des applications linéaires continues de E vers F et on le munit de la norme kfk = supkxk≤1kf(x)k. On a la proposition suivante dont la démonstration est facile et laissée en exercice: Proposition 1. Pour tout f ∈ L(E, F), kfk vérie kf(x)k ≤ kfkkxk et c'est le plus petit des réels M vériant kf(x)k ≤ Mkxk. 2. Il s'agit bien d'une norme! Théorème Si F est un espace de Banach, alors L(E, F) est un espace de Banach. Démonstration On se place sur la boule B fermée de E de centre 0 et de rayon r > 0 et on considère Cb(B, F). Nous avons vu que c'est un espace de Banach, par conséquent, toute suite de Cauchy dans L(E, F) étant une suite de Cauchy dans Cb(B, F), elle con- verge donc vers une limite appartenant à Cb(B, F). Cette limite est linéaire et continue. Ceci étant vrai pour tout r > 0, on a alors l'existence d'une limite dans L(E, F). Isomorphismes d'espaces vectoriels normés. Dénition. Un isomorphisme d'un espace vectoriel normé E dans un espace vecto- riel normé F est une application linéaire, bijective, continue dont l'inverse est également linéaire et continue. Remarques 1. Si une application est bijective est linéaire, alors son inverse est également linéaire. 2. Si une application est un homéomorphisme linéaire, alors c'est un isomorphisme linéaire. Les deux points sont faciles à établir. Par contre, une autre implication résulte d'un théorème beaucoup plus dicile à démontrer que nous allons simplement énoncer: Théorème Si f : E → F est une application entre deux espaces de Banach linéaire, bijective et continue, alors c'est un isomorphisme d'espaces de Banach. 4