Tiêu đề 8 - Chương 8 - Bài 2 - ĐỀ - Giới Hạn Hàm Số.pdf ✅

Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x L ® + =   0 0 0 lim ( ) , , ( ) n n n n x x f x L x x x b x x f x L ® + = Û " < < ® Þ ® Cho hàm số y f x =   xác định trên khoảng a x; . 0  Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x =   khi 0 x x ® nếu với dãy số  xn  bất kì, 0 0 vaø ta coù: ( ) . n n n a x x x x f x L < < ® ® Kí hiệu: 0 lim ( ) . x x f x L ® - =   0 0 0 lim ( ) , , ( ) . n n n n x x f x L x a x x x x f x L ® - = Û " < < ® Þ ® 2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Cho hàm số y f x =   xác định trên khoảng ( ; ). a +¥ Ta nói hàm số y f x =   có giới hạn là số L khi khi x ® +¥ nếu với mọi dãy số  xn  bất kì, và ta có: ( ) . n n n x a x f x L > ®+¥ ® . Kí hiệu: lim ( ) hay ( ) . x f x L f x L khi x ®+¥ = ® ® +¥ lim ( ) , , ( ) .  n n n n  x f x L x x a x f x L ®+¥ = Û " > ® +¥ Þ ® Cho hàm số y f x =   xác định trên khoảng ( ; ). -¥ a Ta nói hàm số y f x =   có giới hạn là số L khi khi x ® -¥ nếu với mọi dãy số  xn  bất kì, và ta có: ( ) . n n n x a x f x L < ®-¥ ® Kí hiệu: lim ( ) hay ( ) . x f x L f x L khi x ®-¥ = ® ® -¥ lim ( ) , , ( ) .  n n n n  x f x L x x a x f x L ®-¥ = Û " < ® +¥ Þ ® Chú ý: - Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cŭng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực. - Với c là hằng số, ta có: lim , lim x x c c c c ®+¥ ®-¥ = = . - Với k là một số nguyên dương, ta có: 1 1 lim 0, lim 0 k k x x ®+¥ ®-¥ x x = = . 3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 3.1 Giới hạn vô cực Giả sử khoảng ( ; ) a b chứa 0 x và hàm số y f x = ( ) xác định trên ( ; ) \ a b x 0. Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn +¥ khi 0 x x ® nếu với dãy số  xn  bất kì, x a b x x x n n Î ® ( ; ) \ ,  0 0  , ta có f x n  ® +¥ , kí hiệu 0 lim ( ) x x f x ® = +¥ . Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn -¥ khi 0 x x ® , ki hiệu 0 lim ( ) x x f x ® = -¥ , nếu 0 lim[ ( )] x x f x ® - = +¥ .
- Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng  x b 0 ; . Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn +¥ khi 0 x x ® về bên phải nếu với dãy số  xn  bất kì thoả mãn 0 0 , n n x x b x x < < ® , ta có f x n  ® +¥ , ki hiệu 0 lim ( ) x x f x ® + = +¥ . - Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng a x; 0 . Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn +¥ khi 0 x x ® về bên trái nếu với dãy số  xn  bất kì thoả mãn 0 0 , n n a x x x x < < ® , ta có f x n  ® +¥ , kí hiệu 0 lim ( ) x x f x ® - = +¥ . - Các giới hạn một bên 0 lim ( ) x x f x ® + = -¥ và 0 lim ( ) x x f x ® - = -¥ được định nghĩa tương tự. Chú ý. Các giới hạn lim ( ) , lim ( ) x x f x f x ®+¥ ®-¥ = +¥ = +¥, lim ( ) x f x ®+¥ = -¥ và lim ( ) x f x ®-¥ = -¥ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f x( ) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y f x = ( ) , xác định trên khoảng ( ; ) a +¥ , có giới hạn là -¥ khi x ® +¥ nếu với dãy số  xn  bất kì, n x > a và n x ® +¥ , ta có f x n  ® -¥ , kí hiệu lim ( ) x f x ®+¥ = -¥ hay f x( ) ® -¥ khi x ® +¥ . Một số giới hạn đặc biệt: - lim k x x ®+¥ = +¥ với k nguyên dương; - lim k x x ®-¥ = +¥ với k là số chẵn; - lim k x x ®-¥ = -¥ với k là số lẻ. 3.2 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f x g x ( ). ( ) Nếu   0 0 0 lim ( ) 0 và lim ( ) thì lim ( ) ( ) x x x x x x f x L g x hoăc f x g x ® ® ® = 1 = +¥ - ¥ được tính theo quy tắc trong bảng sau: 0 lim ( ) x x f x ® 0 lim ( ) x x g x ® 0 lim ( ). ( ) x x f x g x ® +¥ +¥ L > 0 -¥ -¥ +¥ -¥ L < 0 -¥ +¥ b) Quy tắc tìm giới hạn của tích ( ) ( ) f x g x 0 lim ( ) x x f x ® 0 lim ( ) x x g x ® Dấu của g(x) 0 ( ) lim x x ( ) f x ® g x L ±¥ Tuỳ ý 0