Tiêu đề Toán 12_Tập 1 C1_Bài 3. Đường tiệm cận CTST_bản GV.pdf ✅

107 3 n t m n t m s A K ến t ứ ần n ớ 1 T m n n n  Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: x lim  f(x) = m, x lim  f(x) = m  Đường thẳng y = m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) được minh họa như hình vẽ bên dưới. 2 T m n ứn  Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: x a lim   f (x)=  , x a lim   f (x)  , x a lim   f(x) =  , x a lim   f (x) =  .  Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ như Hình 2. a) x a lim   f (x)=  b) x a lim   f (x)  c) x a lim   f(x) =  d) x a lim   f (x) =  3 T m n x ên  Đường thẳng y = ax + b, a 0  được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu   x lim f (x) (ax b) 0     hoặc   x lim f (x) (ax b) 0     .  Đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) được minh hoạ như Hình vẽ bên dưới. a)   x lim f (x) (ax b) 0     b)   x lim f (x) (ax b) 0     Nhận xét: a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên y = ax + b theo công thức như sau: y = f (x) y = f (x) y = f (x) y = f (x) y O a x y O a x y O a x y O a x x = a x = a x = a x = a O x y y = f(x) O x y = f(x) y
108 a = ( ) lim x f x x , b = x lim  [ f (x) – ax] hoặc a = ( ) lim x f x x , b = x lim  [ f (x) – ax] b) Khi a = 0 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = b. 4. H m s t n ặp ) H m s ,( 0; 0) ax b y c ad bc cx d  TCĐ: d x c (nghiệm của mẫu)  TCN: a y c b) H m s 2 ax bx c y dx e .  Thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số về dạng: ( . 0) C y Ax B AC dx e  TCĐ: e x d (nghiệm của mẫu)  TCX: y Ax B  Công thức nhanh tìm TCX: 2 a bd ae y x d d Cá dạn b t p & p ơn p áp ả Dạn 1 T m n n n Ví dụ 1 Cho hàm số y = x 1 x  có đồ thị như Hình bên dưới. a) Quan sát đồ thị, hãy cho biết tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho và giải thích? b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình vẽ). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞. Lời giải tham khảo a) Tiệm cận ngang: y 1 vì 1 1 1 1 1 1 lim lim 1; lim lim 1 x x x x 1 1 x x x x     x x         . b) Ta có 1 1 | ( ) 1| 1 x MN f x x x       . Và 1 1 lim 0; lim 0. x x   x x   Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x   hoặc x  . Ví dụ 2 Đồ thị của hàm số y = 2x 1 x 1    như Hình vẽ bên. Quan sát đồ thị, em hãy cho biết TCN của đồ thị hàm số đã cho? Giải thích? x y O 1 x N M –1
109 Lời giải tham khảo TXĐ: D   \ 1   Ta có: 1 1 2 2 2 1 2 1 lim lim 2; lim lim 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x                       Vậy đường thẳng y 2 là TCN của đồ thị hàm số đã cho. Ví dụ 3 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau: a) f (x) = x 1 4x 1   ; b) g(x) = x x 2  . c) h(x) = 3x 1 x 1    Lời giải tham khảo a) . 1 1 1 1 1 1 1 1 lim ( ) lim lim ; lim ( ) lim lim 4 1 4 4 1 4 1 1 4 4 x x x x x x x x x x f x f x x x x x                     Vậy 1 4 y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b) 1 1 lim ( ) lim lim 1; lim ( ) lim lim 1. 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x g x g x x x x x                 Vậy y 1  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Dạn 2 T m n ứn Ví dụ 4 Cho hàm số 1 y x 1   có đồ thi như hình bên. a) Quan sát đồ thị, hãy cho biết tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho và giải thích? b) Gọi M là điểm trên đồ thị có hoành độ x. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục Oy cắt đường thẳng x = 1 tại điểm N. Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x 1   và x 1   . Ví dụ 5 Quan sát đồ thị dưới đây, em hãy cho biết TCĐ của đồ thị hàm số đã cho? Giải thích? –1 –2 y = –2 x = –1 x y O
110 a) b) Lời giải tham khảo Hình a) có hai tiệm cận đứng x  1 và x  1 . Hình b) có tiệm cận đứng x  1. Ví dụ 6 Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau: a) y = 2 x x 1  ; b) y = 2 x 1 Lời giải tham khảo a) Tập xác định: D = R\{–1;1}. Ta có: 2 2 1 1 lim ; lim ; x x 1 1 x x x x           . Suy ra đường thẳng x  1 là một TCĐ của đồ thị hàm số. Ta có: 2 2 1 1 lim ; lim x x 1 1 x x x x           . Suy ra đường thẳng x  1 là một TCĐ của đồ thị hàm số. b) Tập xác định: D = (1; )  . Vì 1 2 lim x x 1      nên đường thẳng x  1 là một TCĐ của đồ thị hàm số. Ví dụ 7 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau: a) y = x 1 x 5    ; b) y = x 2 x 1   c) y = 2 x 2 x 1   ; d) y = 2 x 2 