Tiêu đề PHAN A. LY THUYET.docx ✅

1 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Cho đường thẳng  và vectơ u→ khác 0→ . Vectơ u→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của u→ song song hoặc trùng với  . Nhận xét: Nếu u→ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì (0)kuk→ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Ví dụ 1: Trong Hình, các vectơ ,ABCD→→ và AB→ có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB hay không? Vì sao? Giải Do vectơ AB→ khác 0→ và có giá là đường thẳng AB nên vectơ AB→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . 2. Phương trình tham số của đường thẳng Trong trường hợp tổng quát, ta có: - Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu  là đường thẳng đi qua 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương (;;)uabc→ thì  có phương trình dạng 0 0 0 xxat yybt zzct       (t là tham số) - Ngược lại, mỗi hệ phương trình 0 0 0 xxat yybt zzct       , trong đó ,,abc không đồng thời bằng 0 và t là tham số, xác định đường thẳng  đi qua 0000;;Mxyz và có một vectơ chỉ phương là (;;)uabc→ . Hệ phương trình 0 0 0 xxat yybt zzct       , trong đó ,,abc không đồng thời bằng 0,t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  đi qua 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương (;;)uabc→ . Trong các ví dụ, bài tập sau đây, nếu không chú ý gì thêm thì ta hiểu là xét trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Ví dụ 2 a) Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm (2;1;4)A và có vectơ chỉ phương (3;4;5)u→ .
2 b) Cho đường thẳng  có phương trình tham số là: 12 57 9 xt yt zt       ( t là tham số). Chỉ ra toạ độ một vectơ chỉ phương của  và một điểm thuộc đường thẳng  . Giải a) Phương trình tham số của đường thẳng  là: 23 47 68 xt yt zt       (t là tham số) b) Toạ độ của một vectơ chỉ phương của  là (2;7;9). u→ Ứng với 0t ta có: 1201 5705 900. x y z       Suy ra điểm (1;5;0)B thuộc đường thẳng  . 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Trong trường hợp tổng quát, ta có: - Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , nếu  là đường thẳng đi qua điểm 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương (;;)uabc→ (với 0)abc thì  có phương trình dạng: 000 .xxyyzz abc   - Ngược lại, với 0abc , mỗi hệ phương trình 000xxyyzz abc   xác định đường thẳng  đi qua 0000;;Mxyz và có một vectơ chỉ phương là (;;)uabc→ . Nếu 0abc thì hệ phương trình 000xxyyzz abc   được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua 0000;;Mxyz và có vectơ chỉ phương (;;)uabc→ . Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm (1;3;6)A và có vectơ chỉ phương (9;2;13)u→ . Giải Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm (1;3;6)A và có vectơ chỉ phương (9;2;13)u→ là: 136 . 9213 xyz  4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước Đường thẳng  đi qua hai điểm 000111;;,;;AxyzBxyz có: - Phương trình tham số là:    010 010 010 xxxxt yyyyt zzzzt       ( t là tham số).
3 - Phương trình chính tắc là: 000 101010 xxyyzz xxyyzz    (với 010101,,xxyyzz ). Ví dụ 3: Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng AB biết (4;1;2)A và (5;8;6)B . Giải - Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: 412412 . 548162174 xyzxyz   - Phương trình tham số của đường thẳng AB là: 4 17 24 xt yt zt       (t là tham số) II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Trước hết, ta có định nghĩa sau: Trong không gian, hai vectơ được gọi là cùng phuơng nếu các giá của chúng cùng song song với một đường thẳng, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Người ta cũng chứng minh được những điều kiện sau. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ 111122223333;;;;;;;;.uabcuabcuabc→→→ - Hai vectơ 12,uu→→ là cùng phương khi và chỉ khi 12,0uu→→→ . - Ba vectơ 123,,uuu→→→ là đồng phẳng khi và chỉ khi 123,.0uuu→→→ . Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng phân biệt 12, lần lượt đi qua các điểm 12,MM và tương ứng có 12,uu→→ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:             →→→ →→ →→→ → →→→→→ →→ →→→→ 12 12 12 112112 1212 12 12121212 ,0, cïng ph­¬ng // , kh«ng cïng ph­¬ng ,0. , kh«ng cïng ph­¬ng ,0 c¾t ,, ®ång ph¼ng ,0 uuuu uMMuMM uuuu uuMMuuMM     . 121212 và chéo nhau ,0. uuMM→→→ Chú ý: Trong một số trường hợp, để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể giải hệ phương trình được lập từ những phương trình xác định hai đường thẳng đó, sau đó xét cặp vectở chỉ phương của hai đường thẳng đó có cùng phương hay không (nếu cẩn thiết). Ví dụ 4: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 12, trong mỗi trường hợp sau: a) 12 1122 12 15210 :2,:42 3214 xtxt ytyt ztzt       ;
4 b) 12 234212 :,: 321213 xyzxyz   ; c) 12 63 312 :,:82 112 1. xt xyz yt zt        Giải a) Đường thẳng 1 đi qua điểm 1(1;2;3)M và có 1(5;1;2)u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 2(2;4;1)M và có 2(10;2;4)u→ là vectơ chỉ phương. Ta có: 122(10;2;4)uu→→ , suy ra 12,uu→→ cùng phương; 12112 12 (1;2;2) và nên , không cùng phu'o'ng. 51MMuMM  →→ → Vậy 12// . b) Đường thẳng 1 đi qua điểm 1(2;3;4)M và có 1(3;2;1)u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 2(2;1;2)M và có 2(2;1;3)u→ là vectơ chỉ phương. Ta có: 21 32 , suy ra 12,uu→→ không cùng phương; 1212211332(4;2;6),,;;(7;11;1). 133221MMuu    → →→ Do 1212,(7)(4)11(2)(1)60uuMM→→→ nên 1212,,uuMM→→→ đồng phẳng. Vậy 1 cắt 2 . c) Đường thẳng 1 đi qua điểm 1(3;1;2)M và có 1(1;1;2)u→ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2 đi qua điểm 2(6;8;1)M và có 2(3;2;1)u→ là vectơ chỉ phương. Ta có: 1212122111(9;7;3),,;;(3;7;5). 211332MMuu    → →→ Do 1212,(3)9775(3)70uuMM→→→ nên 1212,,uuMM→→→ không đồng phẳng. Vậy 1 và 2 chéo nhau. III. GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 11112222;;,;;uabcuabc→→ . Khi đó, ta có: 12121212 222222 111222 cos,.aabbcc abcabc    Nhận xét: 121212120aabbcc .