Tiêu đề PHAN A. LY THUYET.docx ✅

1 PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ 1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN a) Diện tích hình thang cong Hình thang cong Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,()xaxbab , trong đó ()fx là hàm liên tục không âm trên đoạn [;]ab , gọi là một hình thang cong. Ví dụ 1: Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không? Giải Hình a là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị 2yx , trục hoành và hai đường thẳng 1,2.xx Hình b là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị 3yx , trục hoành và hai đường thẳng 0,1.xx Tổng quát, ta có: Định lí 1 Nếu hàm số ()fx liên tục và không âm trên đoạn [;]ab , thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb là ()()SFbFa , trong đó ()Fx là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên đoạn [;]ab . Ví dụ 2: Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 3()yfxx , trục hoành và hai đường thẳng 1,2xx . Giải Một nguyên hàm của hàm số 3 ()fxx là 4 () 4 x Fx . Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là 44 2115 (2)(1). 444SFF
2 b) Định nghĩa tích phân Cho ()fx là hàm số liên tục trên đoạn [;]ab . Nếu ()Fx là một nguyên hàm của hàm số ()fx trên đoạn [;]ab thì hiệu số ()()FbFa được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ()fx , kí hiệu là () b a fxdx  . Chú ý a) Hiệu ()()FbFa thường được kí hiệu là ()b aFx . Như vậy ()(). b b a a fxdxFx  b) Ta gọi b a  là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, ()fxdx là biểu thức dưới dấu tích phân và ()fx là hàm số dưới dấu tích phân. c) Trong trường hợp ab hoặc ab , ta quy ước: ()0;()() aba aab fxdxfxdxfxdx  Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến: ()()(). bbb aaa fxdxftdtfudu  Ví dụ 3: Tính: a) 3 2 1  xdx   b) 6 0 cos tdt   c) 4 2 0cos du u   d) 2 1 2xdx  Giải a) 3 33 233 11 128  3(1) 333 x xdx    .
3 b) 6 6 0 0 1 cos sinsinsin0 62tdtt      . c) 4 4 20 0 tantantan0101 cos4 du u u      . d) 2 221 11 2222 2  ln2ln2ln2ln2 x x dx  . Từ Định lí 1 và định nghĩa tích phân, ta có Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số ()fx liên tục và không âm trên đoạn [;]ab , thì tích phân () b a fxdx  là diện tích S (gạch sọc) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng xa , xb . Vậy () b a Sfxdx  Ví dụ 4: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) 1 0 (1)xdx  b) 1 2 1 1xdx    Giải a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông OABC , có đáy nhỏ 1OC , đáy lớn 2AB và đường cao 1OA .
4 Do đó: 1 0 113 (1)()(12)1. 222OABCxdxSOCABOA  b) Ta có 21yx là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ độ O và bán kính 1. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng. Vậy 1 2 1 1  2xdx    . 2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Cho (),()fxgx là các hàm số liên tục trên đoạn [;]ab . Khi đó, ta có 1) ()() bb aa kfxdxkfxdx  ( k là hằng số); 2) bbb aaa fxgxdxfxdxgxdx  ; 3) bbb aaa fxgxdxfxdxgxdx  ; 4) ()()()() bcb aac fxdxfxdxfxdxacb  . Ví dụ 5: Tính: a) 43 1 3xxdx  b) 2 0 2cosxexdx    c) 4 2 1 3 2xdx x     Giải a)  4 3 4 4444 2 33 1111 1 3 3 3 34 2 xx xxdxxdxxdx 34212553114124114. 444    b) 222 000 2cos2cosxxexdxedxxdx   2222002sin12(10)3. xexee      c) 44 444 2 2 11111 321 22 3 3 ln2 x xx dxdxxdx xx    41111592231. ln24ln24    