Tiêu đề Dang 3 so hoc.docx ✅

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI III. Dạng 3: Số học 1. Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, lập phương A. Bài toán Bài 1: Tìm các số nguyên k để 4328232610kkkk là số chính phương. Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: ab2 bc2   là số hữu tỉ và a 2 + b 2 + c 2 là số nguyên tố Bài 3: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a , b sao cho 22ab là số nguyên tố. Bài 4: Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng  82xxyy với xxyy là số chính phương. Bài 5: Tìm tất cả các cặp số ;ab nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: 1) ,ab đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của ,ab là 1 . 2) Số 121Nababab có đúng 16 ước số nguyên dương. Bài 6: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương ,,mnp với p nguyên tố thỏa mãn 201920192018 mnp Bài 7: Tìm các số nguyên dương n sao cho 431nn là số chính phương. Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố ,,abc đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện 2030()21abcabbccaabc Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 – 14n – 256 là một số chính phương. Bài 10: Tìm số tự nhiên n để n 4 + 4 là số nguyên tố. Bài 11: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n là hợp số. Bài 12: Tìm x nguyên dương để 3241496xxx là số chính phương Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên. Bài 14: Tìm n  N * sao cho: n 4 +n 3 +1 là số chính phương. Bài 15: Tìm các số tự nhiên n sao cho 2An2n8 là số chính phương Bài 16: Bài 1: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ;;xyz sao cho 2019 2019 xy yz   là số hữu tỉ và 222xyz là số nguyên tố.
Bài 17: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ số của A thêm 1 đơn vị thì ta được số chính phương B cũng có 4 chữ số.Tìm hai số ;AB Bài 18: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn 3p4p9 là số chính phương. Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 911n là tích của ,2kkkℕ số tự nhiên liên tiếp. Bài 20: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 20192020nC=+ là số chính phương Bài 21: Cho *nN . Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n chia hết cho 40. Bài 22: Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) 2pqp chia hết cho 2pq ii) 2pqq chia hết cho 2qp Bài 23: Chứng minh rằng số có dạng 643222Annnn không phải là số chính phương, trong đó ,1nNn . Bài 24: a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì 5 29 30 nn cũng là số nguyên. b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ;xy sao cho 222321xyxy và 225423xyxy đều là số chính phương. Bài 25: Cho A = 6432nn2n2n (với nN, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương. Bài 26: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương. Bài 27: Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt S n = a n +b n , với a = 2 53 ; b = 2 53 . a) Chứng minh rằng với n ≥ 1 ta có S n + 2 = (a + b)( a n + 1 +b n + 1 ) – ab(a n +b n ) b) Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, S n là số nguyên. c) Chứng minh S n – 2 = 2 2 15 2 15                   nn . Tìm tất cả các số n để S n – 2 là số chính phương. Bài 28: Tìm số tự nhiên n để n 4 + 4 là số nguyên tố. Bài 29 : Cho 33x124 . Chứng minh rằng: 32Px3x3x3 là một số chính phương. Bài 30: a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = 61m , với m là số tự nhiên.
b) Tìm số nguyên tố p sao cho 182p là số nguyên tố. Bài 31: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. Bài 32: Tìm số tự nhiên n để 18n và 41n là hai số chính phương. Bài 33: Cho 2015201520152015,Aabcd với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ab=cd. Chứng minh rằng A là hợp số. Bài 34: Cho số nguyên dương n và các số A = 2 444....4 n  (A gồm 2n chữ số 4); B = 888.....8 n  (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương. Bài 35: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2223aabb . Chứng minh rằng 221ab là số chính phương Bài 36: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 n17 là một số chính phương. Bài 37: Tìm các số nguyên tố ,,abc và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình 2222 1691.abck++=+ Bài 38: Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên. Bài 39: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ;;pqn , trong đó p , q là các số nguyên tố thỏa mãn: 333ppqqnn Bài 40: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a , b sao cho 22ab là số nguyên tố. Bài 41: Tìm số các số nguyên n sao cho 2Bnn13 là số chính phương Bài 42: Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn 2222abab + 2(1)4abab Chứng minh 1ab là số hữu tỉ Bài 43: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 4 27 + 4 2016 + 4 n là số chính phương Bài 44: a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 111 . abc Chứng minh rằng 222 Aabc là số hữu tỉ. b) Cho ba số hữu tỉ ,,xyz đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 222 111 ()()()B xyyzzx  là số hữu tỉ. Bài 45: Tìm số thực x để 3 số 22 3;23;xxx x là số nguyên Bài 46: Tìm x nguyên dương để 3241496xxx là số chính phương Bài 47: Cho a, b, c  Q; a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng 222 111 abbcca   bằng bình phương của một số
Bài 48: Tìm số tự nhiên n để: 20122002 Ann1 là số nguyên tố. Bài 49: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức 26xx là một số chính phương Bài 50: Cho A = 643222nnnn (với ,nN n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương. Bài 51: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 217n là một số chính phương. Bài 52: Chứng minh rằng:  33704901704901 là một số nguyên. Bài 53: Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn  33pab với , ab là hai số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng : Nếu lấy 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ. B. Lời giải Bài 1: Tìm các số nguyên k để 4328232610kkkk là số chính phương. Lời giải Đặt 4328232610Mkkkk 4222218219189Mkkkkkkk 222222181911.31Mkkkkkk  M là số chính phương khi và chỉ khi 2(1)0k hoặc 2(3)1k là số chính phương. TH 1: 2(1)01.kk TH 2: 2(3)1k là số chính phương. Đặt 2231km mℤ 22 (3)1(3)(3)1mkmkmk Vì ,3,3mkmkmkℤℤℤ Nên 31 31 mk mk     hoặc 31 31 mk mk     3k Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì 4328232610kkkk là số chính phương Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: ab2 bc2   là số hữu tỉ và a 2 + b 2 + c 2 là số nguyên tố Giải: Đặt ab2x ybc2 - = - (x, y  Z, xy  0) Þ ay – bx = (by – cx) 2 (*) Vì a, b, c, x, y  Z Þ ay – bx  Z Þ (by – cx) 2 Z