Tiêu đề Chương 2_Bài 3_Cấp số nhân_Lời giải_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q , tức là: 1 .  2. n n u u q n    Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu un  là cấp số nhân với công bội q và 0 n u  với mọi n  1 thì với số tự nhiên n  2 , ta có: 1 . n nu q u   Chú ý: Khi q 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi. II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số nhân un  có số hạng đầu 1 u và công bội q thì số hạng tổng quát n u được xác định bởi công thức:   1 1 2 . n n u u q n     III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN Cho cấp số nhân un  có số hạng đầu 1 u và công bội q 1. Đặt n 1 2 3 n S  u  u  u  u . Khi đó: 1 1  . 1 n n u q S q   Chú ý: Nếu q 1 thì n 1 S  nu . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao? a) 5;0,5;0,05;0,005;0,0005 b) 1 1 9,3, 1, , 3 9    ; c) 2,8,32,64,256 . Lời giải a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp 1 10  lần số hạng trước của dãy. Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu 1 u  5 và công bội q 0,5. b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp 1 3  số hạng trước của dãy. Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu 1 u  9 và công bội 1 3 q   . c) Ta có: 8 32 256 64 2 8 64 32    Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân. Bài 2. Chứng minh mỗi dãy số un  với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân: a) 3 2 4 n n u    b) 5 3 n n u  c) ( 0,75) n n u   Lời giải
a) Ta có: 1 1 3 2 4 n n u      Xét 1 3 1 3 2 : 2 2 4 4 n n n n u u                     Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân. b) Ta có: 1 1 5 3 n n u    Xét 1 1 5 5 1 : 3 3 3 n n n n u u     . Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân. c) Ta có: 1 1 ( 0,75) n n u     . Xét 1 1 ( 0,75) :( 0,75) 0,75 n n n n u u        . Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân. Bài 3. Cho cấp số nhân un  với số hạng đầu 1 u  5, công bội q  2 . a) Tìm 9 u . b) Số 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên? c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không? Lời giải a) Ta có n u là cấp số nhân có số hạng đầu 1 u  5 và công bội q  2 có số hạng tổng quát là: 1 5.2 n n u      * n . b) Xét 1 5.2 320 n n u      1 2 64  n   n 1  6  n  7 . Vậy số  320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân. c) Xét 1 5.2 160 n n u     1 2 32  n    n 1  5  n  4 N  Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân. Bài 4. Cho cấp số nhân un  với 1 3 27 3, 4 u  u  . a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên. b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên. Lời giải a) Ta có 2 3 1 u  u  q Xét 2 3 1 3 27 9 2 3 4 3 2 q u q u q           . +) Với 3 2 q   ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:
4 1 3 5 3 2 4 27 3 243 u 3; ; 3 4 2 16 3 9 3 81 u 3 ; 3 ; 2 4 2 8 u u u                             +) Với q= 3 2 ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là: 4 1 3 5 3 2 4 27 3 243 3; ; 3 . 4 2 16 3 9 3 81 3 ; 3 ; 2 4 2 8 u u u u u                           b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu 1 u  3 và công bội 3 2 q   là: 10 10 3 3 1 2 68 3 1 2 S                        . Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu 1 u  3 và công bội 3 q 2  là: 10 10 3 3 1 2 340 3 1 2 S                       . Bài 5. Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1% / năm. Gọi n u là số dân của tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020. b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020. Lời giải a) Ta có dãy n u lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 2 o u  triệu dân và công sai q 1% . Khi đó số hạng tổng quát của 1 2 (1 1%) n n u     (triệu dân). b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là: 10 1 10 u 2 (1 1%) 2,19      (triệu dân). Bài 6. Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó). a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng. b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng. c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng? Lời giải
a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là: u1  800 800.4%  800.1 4%  768 (triệu đồng). Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:     2 1 u  800. 1 4% 800. 1 4% .4%  800.(1 4%)  737,28 (triệu đồng). b) Gọi n u là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng. Dãy số n u tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là 0 u  800 triệu đồng và công bội q 1 4%. Khi đó công thức tổng quát để tính 800.(1 4%) n n u   . c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là: 10 10 u  800(1 4%)  531,87 (triệu đồng). Bài 7. Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống. Lời giải Gọi n u là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống (n) Ta có: u0 100 m. Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: u1 100.75%m. Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: 2 u 100.75%.75% 100.   2 (75%) m .  Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q  0,75% , có công thức tổng quát   1 100 (0,75%) m n n u    . Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:     10 10 100 1 (75%) 377,5 m . 1 75% S     C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng mình một dãy số là cấp số nhân 1. Phương pháp Xác định một cấp số nhân là xác định số hạng đầu u1 và công bội q Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và q rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Chứng minh mỗi dãy số un  với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân. Chỉ ra số hạng đầu 1 u và công bội q : a) 3 2 4 n n u    b) ( 0,75) n n u   . Lời giải a) Ta có: 1 1 1 1 3 3 3 3 2 ; 2 2 2 2 4 2 4 4 n n n n u u u                 với mọi n  2 . Vậy dãy số un  đã cho là một cấp số nhân có 1 3 2 u   và công bội q  2 .