Tiêu đề Chương 5_Bài 17_ Lời giải_Toán 12_KNTT.pdf ✅

BÀI 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định Nghĩa: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S ) tâm / ; ; (abc) bán kính R có phương trình là: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) . x a y b z c R − + − + − = Chú ý: Điểm M x y z ( ; ; ) nằm trong mặt cầu (S ) nếu 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) . x a y b z c R − + − + −  Điểm M x y z ( ; ; ) nằm ngoài mặt cầu (S ) nếu 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) . x a y b z c R − + − + −  Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình 2 2 2 ( 1) ( 3) 5 x y z − + + + = . a) Xác định tâm và bán kính của (S ). b) Hỏi gốc toạ độ O(0;0;0) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S ) ? Lời giải a) Ta viét lại phương trình của mặt cầu (S) dưới dạng: ( ) 2 2 2 2 ( 1) [ 3 ] ( 0) ( 5) x y z − + − − + − = . Vậy mặt cầu (S ) có tâm I (1; 3;0 − ) và bán kính R = 5 . b) Ta có 2 2 2 2 2 Ol R = − + + + − =  = (0 1) (0 3) (0 0) 10 5 . Do đó, gốc toạ độ O(0;0;0) nằm ngoài mặt cầu (S ). Luyện tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 2 2 2 1 9 ( 2) 2 4   + + + + =     x y z . a) Xác định tâm và bán kính của (S). b) Hỏi điểm M 2;0;1 ( ) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S). Lời giải a) Mặt cầu (S) có tâm 1 2;0; 2     − −   I và 3 2 R = b) Có 2 2 2 3 73 4 0 2 2   = + + =      IM R Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S ) trong các trường hợp sau: a) Tâm 3 ;0; 3 2     −   I , bán kính 9 4 R = . b) Đường kính AB , với A(1;2;1) và B(3;1;5). Lời giải a) Mặt cầu (S ) có tâm 3 ;0; 3 2     −   I và có bán kinh 9 4 R = nên có phương trình: ( ) 2 2 2 3 9 3 81 2 2 2 2 ( 0) ( 3) hay : ( 3) 2 4 2 16             − + − + + = − + + + =       x y z S x y z
b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là 3 2; ;3 2       J . Mặt cầu (S ) có tâm J và bán kính 1 1 21 2 2 2 (3 1) (1 2) (5 1) 2 2 2 R AB = = − + − + − = . Do đó ( ) 2 2 2 3 21 : ( 2) ( 3) 2 4   − + − + − =     S x y z . Luyện tập: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính R =1. b) Đường kính AB , với A 1; 1;2 , B 2; 3; 1 ( − − − ) ( ). Lời giải a) Mặt cầu (S ) có tâm là gốc tọa độ, bán kính R =1 có phương trình là: 2 2 2 x y z + + =1 b) Đoạn thẳng AB có trung điểm 3 1 ; 2; 2 2     −   J Mặt cầu (S) có bán kính 1 1 14 2 2 2 (2 1) ( 3 1) ( 1 2) 2 2 2 R AB = = − + − + + − − = Mặt cầu (S) có tâm 3 1 ; 2; 2 2     −   J và 14 2 R = có phương trình là: 2 2 3 1 7 2 ( 2) 2 2 2         − + + + − =     x y z Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho (S ) là tập hợp các điểm M x y z ( ; ; ) có tọa độ thoả mãn phương trình: 2 2 2 x y z x y z + + − + − − = 2 4 6 2 0 . Chứng minh rằng (S ) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. Lời giải Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (S): 2 1 4 4 6 9 16 x x y y z z − + + + + + − + = Hay ( ) 2 2 2 2 S x y z : ( 1) ( 2) ( 3) 4 − + + + − = Vậy (S ) là mặt cầu có tâm I (1; 2;3 − ) và bán kính R = 4 . Luyện tập 3: Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 12 = 0. Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. Lời giải Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng: x 2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 12 = 0 ⇔ x 2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 + z2 = 25 ⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 + z2 = 25. Vậy (S) là mặt cầu có tâm I(2; −3; 0) và R = 5.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. a) 2 2 2 x y z x y z + + − + − + = 2 3 8 100 0 . b) 2 2 2 3 4 5 2 0 4 x y z x y z + + − + − − = . c) 2 2 2 x y z xy y z + + − + − + = 2 6 9 10 0 . Lời giải a) Phương trình đã cho tương ứng với 3 1, , 4, 100 2 a b c d = = − = = . Trong trường hợp này, 2 2 2 9 1 16 100 0 4 a b c d + + − = + + −  . Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu. b) Phương trình đã cho tương ứng với 5 3 2, , 1, 2 4 a b c d = = − = = − . Trong trường hợp này, 2 2 2 25 3 4 1 12 0 4 4 a b c d + + − = + + + =  . Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm 5 2; ;1 2     −   I và bán kính R = = 12 2 3 . c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện −2xy trong phương trình. Luyện tập 4: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình 2 2 2 25 4 5 6 0 4 x y z x y z + + + − + + = . Xác định tâm, tính bán kính của (S). Lời giải Từ phương trình trên ta có 5 2; ;c 3 2 a b = − = = − và 25 4 d = Phương trình mặt cầu (S) có tâm 5 2; ; 3 2     − −   I , 2 2 2 5 25 ( 2) ( 3) 13 2 4   = − + + − − =     R . ➋. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG THỰC TIỂN Ví dụ 5: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là    N E , (0 90   , 0 90)    thì có toạ độ M (cos cos ;cos sin ;sin      ) . Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P :10 N,15 E đến vị trí Q :80 N,70 E . Lời giải Ta có P Q (cos10 cos15 ;cos10 sin15 ;sin10 , cos80 cos70 ;c ) ( os80 sin70 ;sin80 ) Suy ra OP OQ = = (cos10 cos15 ;cos10 sin15 ;sin10 , cos80 cos70 ;c ) ( os80 sin70 ;sin80 ) Do đó cos10 cos15 cos80 cos70 cos10 sin15 cos80 sin70 sin10 sin80 0,2691  = + +  OP OQ
Vì PQ, thuộc mặt đất nên OP OQ = =1. Do đó cos 0,2691  =   OP OQ POQ OP OQ . Suy ra POQ  74,3893 . Mặt khác, đường tròn tâm O , đi qua PQ, có bán kính 1 và chu vi là 2 6,2832   , nên cung nhỏ PQ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng 74,3893 6,2832 1,2983 360   . Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí PQ, xấp xỉ bằng 1,2983 6371 8271,4693  = (km). Luyện tập 5: Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B : 45 N,30 E . Lời giải Vì A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên A 1;0;0 ( ) . Do đó OA = (1;0;0) Điểm B cos45 cos30 ;cos45 sin30 ;sin45 ( ) hay 622 ; ; 4 4 2         B Suy ra 622 ; ; 4 4 2   =       OB Có 6 4 OA OB  = Vì A, B thuộc mặt đất nên OA OB = =1 Do đó cos 0,6124  =   OA OB AOB OA OB . Suy ra AOB  52, 2388 . Mặt khác, đường tròn tâm O đi qua AB, có bán kính 1 và chu vi là 2 6,2832   , nên cung nhỏ AB của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng 52,2388 6,2832 0,9117 360   . Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí AB, xấp xỉ bằng 0,9117.6371 5808,4407 = (km). B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.25: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) có phương trình 2 1 2 2 ( 1) 9 2     − + + + =   x y z . Xác định tâm và bán kính của (S) . Lời giải Mặt cầu (S) có tâm 1 ; 1;0 2     −   I và R 3 = . Bài 5.26: Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(−2; 0; 5) và bán kính R 2. = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 0; 5) và bán kính R = 2 có phương trình là: