Tiêu đề Chuyên đề 21_Hai đường thẳng vuông góc_Lời giải.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ 21_HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng a và b trong không gian, lấy điểm O tuỳ ý. Qua O kẻ //aa và kẻ //bb . Khi đó, góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b bằng góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b . 2. Hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa a và b bằng 90∘ . Kí hiệu: ab . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Cho hình chóp .SABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SAABC và 3SAa . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và SC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AN và CM . Lời giải Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra 2 a AMCE . Khi đó  //;;AECMANCMANAE . Mặt khác 222SCSAACa độ dài đường trung tuyến AN là 2 SC ANa . 3 2 a AECM . Do ABC đều nên CMAM AMCE là hình chữ nhật. Khi đó CEAE mà CESA CESAECESE . SEC vuông tại E có đường trung tuyến 1 2ENSCa . Ta có: 2223 cos0 2..4 ANAENE NAE ANAE  3 cos 4 . Cách 2: Ta có: 11; 22ANASACCMAMACABAC→→→→→→→→ . Khi đó 21111.AS. 2242ANCMACABACABACAC    →→→→→→→→ 22 213 cos60 428 aa a  . Lại có 2 3 833 ; os= 2243 . 2 a SCa ANaCMc a a    . Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều!
Câu 2: Cho hình chóp .SABC có ; 2SASBSCABaACa và 3BCa . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB . Lời giải Cách 1: Gọi , , MNP lần lượt là trung điểm , SASB và AC . Khi đó // // MPSC MNAB    ;;SCABMPMN . Ta có ; 2222 ABaSCa MNMP . Mặt khác SAC vuông tại 2 22 ACa SSP . 222 2236 2422 BABCACa BPaBP  . Suy ra 222 2233 2442 PSPBSBa PNaNP  . Khi đó 2221 cos 2..2 MNMPNP NMP MNMP   120;60NMPSCAB . Cách 2: Ta có: ....ABSBSAABSCSBSASCSBSCSASC→→→→→→→→→→→→ 222222211 222 a SBSCACSASCAB . Suy ra  2 21 cos;;60 .2 a SCABSCAB aa   . Câu 3: Cho hình chóp .SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a , SAABCD và 5SBa . Gọi M là trung điểm AB và N là trung điểm BC . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN . Lời giải  Cách 1: Do SAABCD . Ta có: 22SASBABa . Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm AE . Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE . Khi đó ////DNBEMI . Ta có: ; 22 AEa AMaAI . Mặt khác: 2 222225 2; 4 a SMSAAMaSI .
2 2225 4 a MIAIAM . Do vậy  22210coscos; 2..5 SMMISI SMISMDN SMMI    Cách 2: Ta có: ...SMDNSMSNSDSMSNSMSD→→→→→→→→→ 22222211 22SMSNMNSMSDMD Mặt khác: 2222222 6SNSAANSAABBNa , 2 2 AC MNa , 2222 5, 5SDaMDa . Do đó  2 2 22210 .2cos; .52.5 aa SMDNaSMDN SMDNaa→→ . Câu 4: Cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có ;2ABaADa , SAABCD và 2SAa . a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD . b) Gọi I là trung điểm của CD . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI . Lời giải a) Do //;;BCADSDBCSDADSDA SAD vuông tại A  22 1 cos 3 ADAD SDA SDADSA  . b) Gọi , MK lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình của tam giác SAB . Khi đó //MKSB , mặt khác //MCAI . Suy ra ;;SBAIMKCM . Ta có: 22 2253 ; 2222 SBSAABaa MKMCMBBC  ; 22 2KCKAACa . Khi đó  22211coscos; 2..3535 KMMCKC KMCSBAI KMMC   . Cách 2: Ta có: ...SBAISBSISASBSISBSA→→→→→→→→→ 22222211 22SBSIBISBSAAB Do 2 22222222253 5;; 42 aa SBaSISAADDIAIADDIIB .
Suy ra  2 2 . 12 .os; 32.35 5. 2 a SBAI a SBAIcSBAI aSBAI a  →→ →→ . Câu 5: Cho hình chóp .SABCD có đáy là hình thoi cạnh a ,  60ABC . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc 30 . Tính cosin của góc giữa a) SD và BC . b) DH và SC , với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy ABCD . Lời giải a) Do  ,60ABBCaABCABC đều cạnh a . Gọi H là trung điểm của AB , do tam giác SAB tại S nên SHAB . Mặt khác  SABABCD SHABC ABSABABCD      . ABC đều nên 3,;30 2 a CHSCABCSCH Ta có: SHHC tan30 2 a  . Do 227 601202.cos120 2 a ABCBADHDAHADAHAD . Suy ra 22222 ,2 2 a SASHHASDSHHDa . Mặt khác //ADBC 22252;;,cos 2..8 DSDASA BCSDADSDSDA DSDA   . Do vậy 52cos; 8BCSD . b) Ta có ...SCDHSCSHSDSCSHSCSD→→→→→→→→→ 2222222113 224 a SHSCHCSCSDCD Mặt khác  2 22 3 . 374 cos; .147 . 2 a SCDH SCSHHCaSCDH SCDHa a  →→