Tiêu đề BÀI 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

_ Hai đường tròn không có điểm chung nào được gọi là ngoài nhau 2) Tính chất đường nối tâm Định lí : _ Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. _ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm sẽ nằm trên đường nối tâm 3) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn _ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc cả hai đường thẳng đó a) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt nhau _ Hai đường tròn cắt nhau có 2 tiếp tuyến chung và giao điểm hai tiếp tuyến này cắt nhau tại 1 điểm trên đường thẳng OO b) Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tiếp xúc nhau _ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có 3 tiếp tuyến chung trong đó có hai tiếp tuyến chung ngoài và 1 tiếp tuyến chung trong. Tiếp tuyến chung trong là đường thẳng vuông góc với đường nối tâm tại tiếp điểm. Hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại một điểm trên
đường nối tâm _ Hai đường tròn tiếp xúc trong có một tiếp tuyến chung là đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm tại tiếp điểm c) Hai đường tròn không tiếp xúc nhau _ Hai đường tròn không tiếp xúc nhau có 4 tiếp tuyến chung trong đó có 2 tiếp tuyến chung ngoài và 2 tiếp tuyến chung trong. Giao điểm của 2 tiếp tuyến chung ngoài và giao điểm của 2 tiếp tuyến chung trong đều thuộc đường thẳng nối 2 tâm II. Bài tập Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và O cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm OO . Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt các đường tròn (O) và O tại C và D (khác A). Chứng minh rằng ACAD Định hướng lời giải : Ta cần chứng minh ACAD mà lại thấy I là trung điểm của OO mà lại có IACD nên ta sẽ nghĩ ngay đến việc kẻ các đường vuông góc từ ,OO xuống CD để tạo hình thang có IA là đường trung bình. Giả sử chân đường vuông góc hạ từ ,OO xuống CD lần lượt là E, F. Khi đó dễ thấy E, F lần lượt là trung điểm của AD, AC mà lại có AEAF nên ta suy ra được ACAD Lời giải: Từ ,OO lần lượt hạ các đường vuông góc xuống CD và cắt CD lần lượt tại E, F Dễ thấy E, F lần lượt là trung điểm của AD, AC Ta có ////OEOFIA OFEO là hình thang có I là trung điểm của OOA là trung điểm của EF 22AEAFACAFAEAD (đpcm)
Nhận xét : Dựa vào ý tưởng của bài toán ta có thể giải quyết rất nhiều các bài toán hay và khó sau : Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và O cắt nhau ở A và B. Đường thẳng d qua A cắt (O) và O lần lượt tại C và D ( A nằm giữa C và D) a. Nêu cách dựng d để A là trung điểm của CD b. Xác định vị trí của d để tổng khoảng cách từ O và O đến d đạt giá trị lớn nhất Sử dụng kết quả bài 1 ta thấy bài toán 2 này được xử lí khá dễ dàng. Xin mời bạn đọc tự trình bày Bài 3: Cho ABC . Ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC. Một đường thẳng d qua A cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại D, E (khác A). M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng MDE cân tại M Định hướng lời giải : Để chứng minh một tam giác cân thì ý nghĩ đầu tiên của chúng ta sẽ là chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc 2 góc bằng nhau. Tuy nhiên ở bài toán này chứng minh MDE cân tại M ta thấy rất rõ khó liên hệ 2 cạnh MD, ME và 2 góc ,MDEMED với giả thiết đề bài. Vì vậy việc chứng minh 2 cạnh hoặc 2 góc bằng nhau là không khả thi. Từ đó ta sẽ nghĩ đến ý tưởng chứng minh các đường trung tuyến, đường cao hoặc phân giác xuất phát từ đỉnh M của MDE trùng nhau. Để ý D, E thuộc các đường tròn đường kính AB, AC nên ta suy ra ngay 90ADBAEC . Như vậy //BDCE tứ giác BDEC là hình thang, do đó nếu ta gọi N là trung điểm đoạn DE thì ta sẽ có MN là đường trung bình của hình thang ////BDECMNBDCEMNDE Lời giải: Do D thuộc đường tròn đường kính AB  901ADBADBD Tương tự E thuộc đường tròn đường kính AC 2AECE Từ (1) và (2) suy ra //BDCE  Tứ giác BDEC là hình thang Gọi N là trung điểm của DE MN là đường trung bình của hình thang BDEC ////MNBDCEMNDE Trong MDE có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MDE cân tại M đpcm Nhận xét : Đây là bài toán khá cơ bản vì chắc hẳn ai cũng nhận ra được tứ giác BCED là hình thang và có M là trung điểm nên ý tưởng tạo ra đường trung bình của hình thang BCED là khá tự nhiên Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và O có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại hai điểm A, B. Một đường thẳng bất kì qua A cắt (O) và O lần lượt tại C, D sao cho A nằm giữa C và D. Chứng minh BCBD Định hướng lời giải : Ta thấy ngay C, D lần lượt thuộc đường tròn (O) đường kính AE và đường tròn O đường kính AF nên  90ECAADF tứ giác CDFE là hình thang. Ta lại dễ dàng chứng minh được B là trung điểm của EF. Bây giờ ta có hình thang CDFE và có B là trung điểm của EF từ đó ta sẽ nghĩ đến việc kẻ đường trung bình của hình thang CDFE tức là từ B kẻ BKCDKCD . Khi đó BK là đường trung bình của hình thang CDFE  K là trung điểm của CD. Như vậy BK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến trong BCDBCD cân tại BBCBD Lời giải: Kẻ các đường kính AE của (O) và AF của O Do B thuộc đường tròn (O) đường kính AE và thuộc đường tròn O đường kính AF  90ABEABF ,,,ABBEABBFEBF thẳng hàng