Tiêu đề °COURS MESURE INTEGRATION SMA5 FSR RABAT 17 18.pdf ✅

Département de Mathématiques - Faculté des Sciences Université Mohammed V de Rabat M28 Théorie de la mesure et de l’intégration (2017 - 2018) Allal GHANMI
Table des matières 1 Espaces mesurables 3 1.1 Clans (Algébres de Boole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tribus (σ-Algébres de Boole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Construction des tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Constuction 1 : Tribu trace (induite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Constuction 2 : Tribu image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Constuction 3 : Intersection de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.4 Constuction 4 : Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Tribu de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Fonctions mesurables 9 2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Un cas spécial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Fonctions mesurables à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Fonctions mesurables à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Approximation des fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Mesures positives 18 3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Propriétès élémentaires des mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Notions (μ-négligeable et μ-presque partout) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Mesure de Lebesgue 25
Théorie des Mesures et Intégration - FSR 17-18 4.1 Un théorème de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Mesure de Borel (Lebesgue) sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.4 Esquisse de la preuve du théorème de prolongement de Caratheodory . . . . 28 5 Construction de l’intégrale au sens de Lebesgue 30 5.1 Intégrale des fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6 Théorème de la convergence monotone et lemme de Fatou 40 6.1 Théorème de la convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2 Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Espace L 1 et théorème de convergence dominée 43 7.1 Intégration des fonctions mesurables : fonctions intégrables . . . . . . . . . . 43 7.2 L’espace L 1 des fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.3 L’espace L 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.4 Théorème de convergence dominée de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.5 Applications du TCD : intégrales dépendant d’un paramétre . . . . . . . . . . 47 7.5.1 Continuité sous le signe d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.5.2 Dérivabilité sous le signe d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8 Espaces L p et L p ; p ≥ 1 49 9 Tribus produit, Mesures produit et théorème de Fubini 52 9.1 Tribu Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9.2 Fonctions mesurables sur la tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.3 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.4 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A. Ghanmi TABLE DES MATIÈRES 2
Chapitre 1 Espaces mesurables Dans toute la suite X désignera un ensemble non vide. On notera par P(X) l’ensemble de parties de X. 1.1 Clans (Algébres de Boole) Définition 1.1.1. Une classe C de parties de X est appelée clan (ou algèbre de Boole ou tout simple- ment algèbre) si : 1. ∅ ∈ C . 2. C est stable par passage au complémentaire dans X : si A ∈ C , alors A{ = X \ A ∈ C . 3. C est stable par réunion : si A, B ∈ C , alors A ∪ B ∈ C . Exemples 1.1.2. Il y a beaucoup d’algèbres sur un ensemble non-vide donné X. — La plus grosse est l’algèbre P(X). — La plus petite est {∅, X}. — Soit A ⊂ X. La plus petite algèbre contenant A est la collection constituée de ∅, A, A{ et X. — L’intersection de deux algèbres C1 et C2 sur X, définie par C1 ∩ C2 := {A ⊂ X; A ∈ C1 et A ∈ C2}, est encore une algèbre sur X. Plus généralement, L’intersection d’une famille quelconque d’al- gèbres sur X est une algèbre sur X. Remarque 1.1.3. Soit C un clan de parties de X. Les propriétés suivantes sont immédiates : 1. X ∈ C . 2. C est stable par différence non symétrique : si A, B ∈ C , alors A \ B ∈ C . 3. C est stable par différence symétrique : si A, B ∈ C , alors A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C . 4. C est stable par réunion finie : si A1, · · · , An ∈ C , alors A1 ∪ · · · ∪ An ∈ C . 5. C est stable par intersection finie : si A1, · · · , An ∈ C , alors A1 ∩ · · · ∩ An ∈ C . Il y a d’autres systèmes équivalents à l’ensemble des axiomes dans la définition d’une algèbre. On cite par exemple la définition équivalente suivante :