Tiêu đề CD-Đại số 11-Chương 3-Giới hạn. Hàm số liên tục-Bài 2-Giới hạn của hàm số-Tự luận.doc ✅

Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 1 BÀI 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm a. Định nghĩa Cho điểm 0x thuộc khoảng K và hàm số ()yfx xác định trên K hoặc 0\Kx . Hàm số ()fx có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới 0x nếu với dãy số nx bất kì, 0\nxKx và 0nxx thì () nfxL , kí hiệu  0 lim() xx fxL hay ()fxL khi  0xx . Nhận xét:  0lim xx cc  , với c là hằng số   0 0lim xx xx . Chú ý: Hàm số ()fx có thể không xác định tại  0xx nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới 0x . b. Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số a) Cho 0 lim() xx fxL  và 0 lim() xx gxM  . Khi đó:   0 lim()() xx fxgxLM    0 lim()() xx fxgxLM    0 lim().(). xx fxgxLM   0 () lim ()xx fxL gxM (nếu M  0) b) Nếu 0fx và  0 lim() xx fxL thì L  0 và 0lim() xx fxL  c. Giới hạn một phía Định nghĩa  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng 0;ax . Số L được gọi là giới hạn bên trái cùa hàm số ()fx khi  0xx nếu với dãy số nx bất kì thỏa mãn  0naxx và  0nxx , ta có () nfxL , kí hiệu  0 lim() xx fxL .  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng 0;xb .
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 2 Số L được gọi là giới hạn bên phải cùa hàm số ()fx khi  0xx nếu với dãy số nx bất kì thỏa mãn  0nxxb và  0nxx , ta có () nfxL , kí hiệu  0 lim() xx fxL . Định lí:  0 lim() xx fxL khi và chỉ khi  00 lim()lim() xxxx fxfxL 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực a. Định nghĩa  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số ()yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x nếu với dãy số nx bất kì,  nxa và  nx , ta có () nfxL , kí hiệu lim() x fxL hay ()fxL khi x .  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;b . Ta nói hàm số ()yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x nếu với dãy số nx bất kì,  nxb và  nx ta có () nfxL , kí hiệu lim() x fxL hay ()fxL khi x . Nhận xét:  Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn của hàm số khi  0xx vẫn đúng khi x hoặc x .  Với c là hằng số, ta có: lim,lim xx cccc  Với k là số nguyên dương, ta có: lim0,lim0 kk xx cc xx 3. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số ()fx có giới hạn  khi  xa nếu với dãy số nx bất kì, nxa , nxa ta có () nfx , kí hiệu lim() xa fx hay () nfx khi  xa .  Các trường hợp lim(),lim(),lim() xaxaxa fxfxfx được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau:    1 lim xaxa    1 lim xaxa
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 3 3. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số ()fx có giới hạn  khi x nếu với dãy số nx bất kì, nxa , nx ta có () nfx , kí hiệu lim() x fx hay () nfx khi x .  Các trường hợp lim(),lim(),lim() xxx fxfxfx được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:  limk x x  với k nguyên dương.  limk x x với k là nguyên dương số chẵn.  limk x x với k là nguyên dương số lẻ. c) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây:
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 4 DẠNG 1 GIỚI HẠN XÁC ĐỊNH Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau: a) 2 3 1 lim 1x x x   b) 2 3 1 lim 2x x x  Lời giải a)   22 2 333 3 333 lim1limlim1 191 lim4 1lim1limlim131 xxx x xxx xx x xxx        b) 2222 33333 3 33333 lim1limlim1limlim1 13.315 lim 2lim2lim2.limlim2.lim233 xxxxx x xxxxx xxx x xxxx       . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 2. Tìm giới hạn các hàm số sau: a) 2 1 lim(21) x xx  b)  1 lim21 x xx  c) 2 3 lim34  x x d) 1 1 lim 21x x x   e) 2 5 1 1 lim 23x xx x   f) 0 1 lim1 x x x     g) 0 1 1 lim 1 1x x x    h) 3 4 1 lim (21)(3)x xx xx   i) 2 3 lim4 x x   Bài 3. Tìm giới hạn các hàm số sau: a) 23 0 1 lim 1x xxx x   b) 2 1 31 lim 1x xx x   c) 32 2 3432 lim 1x xx x   d) 41 1 lim 3x x xx   e) 2 2 1 lim 1x xx x   f) 2 1 23 lim 1x xx x   Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau: a) 32 x0 lim(x5x10x)  b) 2 x1 x5x6 lim x2   c) x1 1x1x lim x  d) 2 2 x2 2x3x1 lim x4x2   e) 31 11 lim 112xxx    