Tiêu đề CHƯƠNG IV. CHÙM BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM, ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TIẾP TUYẾN CẮT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.pdf ✅

CHƯƠNG IV. CHÙM BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM, ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TIẾP TUYẾN CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I. CHÙM BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG CAO VÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp có các O đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại các H, đường thẳng BH, CH kéo dài cắt O tại giao điểm thứ 2 là ( khác khác khác P, Q, R P B, Q C, R A). Gọi M ,I lần lượt là trung điểm của BC, AH, đường thẳng EF cắt AH tại K. 1. Các tứ giác BFHD, CEHD, BFEC nội tiếp. Chứng minh: Do là các AD, BE,CF đường cao của tam giác nên ABC   0 HDB  BFD  90   suy ra tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối nhau bằng Tương tự ta 0  HDB  BFD 180 BFHD 0 180 ). cũng có tứ giác CEHD nội tiếp. Ta có: nên là BFC  BEC BFEC tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn F, E cạnh BC một góc bằng nhau). 2. Các đường thẳng AD, BE,CF chứa các đường phân giác của góc EDF, DEF, EFD từ đó suy ra trực tâm là tâm H đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Chứng minh: Vì BFHD nội tiếp nên: (cùng FBH  FDH chắn (1), FH) CEHD nội tiếp nên HDE  HCE (cùng chắn (2), EH) tứ giác BFEC nội tiếp nên (cùng FBE  FCE chắn (3). EF) Từ (1), (2), (3) ta suy ra hay là phân giác FDH  EDH AD của góc EDF. Chứng minh tương tự ta cũng
có BE,CF chứa các đường phân giác của góc DEF, EFD từ đó suy ra trực tâm là tâm H đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 3. Dựng đường kính của Khi O. đó tứ giác là hình bình hành. Suy ra BHCN H, M , N thẳng hàng. H,G,O thẳng hàng và HO  3GO. Chứng minh: Vì là AN đường kính của nên do O NC  AC, BH  AC  BH // NC. Chứng minh tương tự ta cũng có nên CH // NB tứ giác là hình bình hành, suy ra 2 BHCN đường chéo NH, BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà là trung M điểm của nên BC N, H, M thẳng hàng. Ta có là MO đường trung bình của tam giác nên AHN Gọi là giao điểm của 1 / / . 2 MO  AH G AM và do (cùng vuông góc HO, MO / /AH với Theo BC). định lý Thales ta có: là 1 2 AG MO G GM AH    trọng tâm của tam giác và ABC H,G,O thẳng hàng. Do (Đường thẳng 1 3 . 2 GO OM HO GO GH AH     qua H,G,O gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC). 4. Các đường thẳng kéo dài AH, BH,CH cắt O tại giao điểm thứ 2 là khi P,Q, R đó: P,Q, R là các điểm đối xứng với qua H BC,CA, AB. Chứng minh: Vì là AN đường kính của nên O  Lại có là trung điểm 0 APN  90  PN / /DM. M HN (chứng minh ở 3). Suy ra là DM đường trung bình của tam giác suy ra là trung HPN D điểm của HP. Nói cách khác là P điểm đối xứng với qua H BC. Chứng minh tương tự ta cũng có: là các Q, R điểm đối xứng với H lần lượt qua CA, AB. 5. OA  EF, tam giác cân. ARQ Chứng minh: Dựng tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có (4). Ta ABC Ax  OA cũng có (tính xAC  ABC chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). Mặt khác tứ giác BFEC nội tiếp nên AEF  ABC từ đó suy ra hay (5). xAC  AEF EF / /Ax Từ (4) và (5) suy ra Chú ý EF  OA. rằng là EF đường trung bình của tam giác nên suy ra vuông góc HQR QR / /EF  QR  OA OA với QR tại trung điểm của nên tam giác cân QR AQR tại A. 6. Đường thẳng kéo dài EF cắt đường tròn O lần lượt tại ( nằm giữa và Khi đó: 1 1 E , F E E1 F). lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp các tam giác 1 1 AE , AF , 1 1 CEE , BFF . Chứng minh: Theo chứng minh ở câu 5 ta có suy ra tam giác cân tại nên 1 1 EF / /QR  E F / /QR AF1E1 A   Mặt khác Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn 1 1 1 1 AF E  AE F . 1 1 1 1 1 1 1 AE F  AB E  AF E  ABF . AF1
ngoại tiếp tam giác Chứng minh tương tự ta cũng có: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 1 BFF . AE1 tam giác 1 CEE . Chú ý rằng: Từ chứng minh trên ta cũng có các hệ thức đẹp: 2 1 AF  AF.AB  AH.AD. 2 1 AE  AE.AC  AH.AD. 7. Gọi X ,Y, Z,T lần lượt là trung điểm của Khi AB, AC, HC, HB. đó 9 điểm D, E, F, X ,Y, M ,I, Z,T cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của OH (gọi là đường tròn Ơle của tam giác ABC). Chứng minh: Ta có là IZ đường trung bình của tam giác là đường trung 1 / / , 2 ABH  IZ  AB YM bình tam giác nên ABC Từ đó suy ra là hình bình hành. Lại có 1 / / . 2 YM  AB IZ / /  YM  IZMY ZM là đường trung bình của tam giác nên mà suy ra BHC ZM / /CH AB  CH ZM  IZ vậy tứ giác là hình IZMY chữ nhật nên hai đường chéo IM , ZY cắt nhau tại trung điểm J của mỗi đường. Tương tự ta cũng chứng minh được các tứ giác là các hình XITM , XYTZ chữ nhật nên suy ra các đường chéo IM , ZY,TX đồng quy tại trung điểm J của mỗi đường. Chú ý rằng: IDM , ZEY,TFX lần lượt vuông tại nên tâm vòng tròn D, E, F ngoại tiếp chính là trung điểm J của các cạnh huyền tương ứng. Suy ra 9 điểm cùng D, E, F, X ,Y, M ,I, Z,T nằm trên đường tròn tâm J. Ta cũng có: nên tứ giác là hình bình hành, suy ra hai đường chéo 1 / / / / 2 OM  AH  IH IHMO IM , HO cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Nói cách khác điểm J cũng chính là trung điểm của HO.