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FSAC CASABLANCA SMP-3 TDs + CORRIGES ANALYSE NUMERIQUE http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
Univérsité Hassan II Faculté des Sciences Aïn Chock Département de Mathématiques Année Univesitaire 2020-2021 SMP 3 Analyse numérique et Algorithmique SERIE 1 : Calculs Numériques Approchés Exercice 1 Soient les nombres x = 0.00009835863, y = 1248700 et z = e. 1. Donner la représentation en virgule ottante normalisée de x et y. 2. Donner la représentation avec 4 chires dans la mantisse, de x et y dans le cas de la troncature. 3. Donner la représentation avec 5 chires signicatifs, de z dans le cas de l'arrondi, puis calculer l'erreur absolue ∆(z), et l'erreur relative Er(z). Exercice 2 1. Tous les chires des nombrs suivantes sont signicatifs. Donner une borne supérieure de l'erreur absolue et estimer l'erreur relative. a) 0.1234 b) 3, 1456 c) 0.11235 × 10−3 2. Déterminer l'erreur relative à la multiplication de deux nombre en fonction des erreurs relatives de chacun des nombres. Exercice 3 1. Eectuer les calculs suivants, en arithmétique ottante à 3 chires signicatifs : π( 1 π ), 2136(9993 + 0, 004567), (10200 + 341) − 9800 et (125 × 25) + (10 × 2, 5). 2. Eectuer le calcul suivant 122 × (333 + 695) et (122 × 333) + (122 × 695), en arithmétique exacte, et en arithmétique à virgule ottante à 3 digits, puis conclure. Exercice 4 Soit à résoudre une équation du second degré x 2 − 5 × 107x + 1 = 0 1. avec 5 chires signicatifs, calculer les racines x1 et x2 de cette équation. 2. Calculer la racine x2 par la formule x1.x2 = 1. Calculer l'erreur relatif qu'on commet sur x2. 3. Comparer les deux méthodes. 1
Univérsité Hassan II, Faculté des Sciences Aïn Chock Département de Mathématiques et Informatique SMP 3 Année Univesitaire 2019-2020 Exercices d'Analyse Numérique - Correction I. Calculs Numériques Approchés Exercice 1 Soient les nombres x = 0.00009835863, y = 1248700 et z = e. 1. Donner la représentation en virgule ottante normalisée de x et y : Un nombre a virgule ottante normalisé est de la forme x = (−1)smbp s : vaut 0 ou 1. b : est la base du système numérique utilisé. p : est l'exposant (un nombre entier relatif). m : la mantise m = 0, a1a2 . . . aN avec N nombre de chires sugnicatifs avec 0 ≤ ai ≤ b−1, a1 ̸= 0 Donc x = 0.00009835863 = 0.9835863 10−4 et y = 1248700 = 0.1248700 107 2. Donner la représentation avec 4 chires dans la mantisse, de x et y dans le cas de la troncature : Troncature consiste à couper (tronquer) la mantise de x après son Nème chire. donc x = 0.9835863 10−4 or N = 4, donc tronquer après son 4 ème chire : fl(x) = 0.983510−4 et y = 0.1248700 107 =⇒N=4 tronquer fl(y) = 0.1248 107 3. Donner la représentation avec 5 chires signicatifs, de z dans le cas de l'arrondi, puis calculer l'erreur absolue ∆(z), et l'erreur relative Er(z) : L'arrondi consiste à tenir compte du (N + 1)ème chire, si celui-ci est inférieur strictement à 5 on tronque tandis s'il est supérieur ou égal à 5 on ajoute une unité au (N) ème chire avant de tronquer. Donc z = e = 2.71828182846 1
La représentation en virgule ottante normalié de z est : z = 0.271828182846 101 le (5 + 1)ème chire après la virgule est égal à 8, il est supérieur à 5 donc on ajoute une unité au (5)ème chire avant de tronquer =⇒N=5 arrondi fl(z) = 0.27183 101 . On a l'erreur absolue : ∆(z) = |z − fl(z)| = |0.271828182846 101 − 0.27183 101 | = 0.00001817154 = 0.1817154 10−4 et l'erreur absolue : Er(z) = ∆(z) |z| = 0.1817154 10−4 0.271828182846 101 = 0.66849359 10−7 ≃ 0.67 10−5 % Exercice 2 1. Tous les chires des nombrs suivantes sont signicatifs. Donner une borne supérieure de l'erreur absolue et estimer l'erreur relative. a) 0.1234 b) 3, 1456 c) 0.11235 × 10−3 Si ∆x ≤ 0.5 10m alors le chire correspondant à la mème puissance de 10 est dit signicatifs et tous ceux à sa gauche correspondant aux puissances de 10 supérieur à m le sont aussi. a) 0.1234 : Comme tous les chires des nombres sont signicatifs alors N = 4, donc ∆x ≤ 0.5 10−4 et Er(x) = ∆(x) |x| ≃ 0.5 10−4 0.1234 = 0.405186 10−3 ≃ 0.41 10−1 % b) 3.1456 : On a 5 chires signicatifs et donc ∆x ≤ 0.5 10−4 et Er(x) = ∆(x) |x| ≃ 0.5 10−4 3.1456 = 0.15895 10−4 ≃ 0.16 10−2 % 2